Exercice trigonométrie

[Pierre-Paul]

Bonjour !
J'ai un exercice pour la semaine prochaine, et je n'ai pas vraiment compris cette leçon sur la trigonométrie, donc j'ai un peu de mal pour cet exercice, quelqu'un pourrait m'aider à le commencer s'il vous plait ?
Merci beaucoup d'avance.

Exercice:
Dans le plan, on considère un triangle BOC isocèle en O tel que,les vecteurs, (OC,OB)=3π/4 [2π]
On note D le symétrique du point B par rapport à la droite (OC) et on note H le milieu du segment [BD]

1. Calculer (CB,CO), (OB,BC), (CB,DO) et (OB,OH)

2. On pose OB=1
   a) Vérifier que le triangle OHB est un triangle rectangle isocèle
   b) Calculer les longueurs BH, OH, CH et BC
   c) En déduire les valeurs exactes de cos(π/8) et de sin(π/8)

Pour la 1) j'imagine qu'on peut obtenir ces résultats en appliquant les règles de calcul des angles orientés de vecteurs, mais je ne les ais pas comprise non plus..
Et peut-on faire la figure ?

Merci !
Bonne journée.

[Noemi]

Bonjour,

Oui tu peux faire une figure.
Indique tes réponses.

[Pierre-Paul]

Bonjour,
Je fais pas de cercle trigonométrique pour la figure ?

si non, j'ai trouvé:
1)
(CB,CO) + (BO,BC) + (OC,OB) = π
2(CB,CO) = π - (OC,OB) = π - 3π/4 = π/4
Donc (CB,CO) = π/8

(OB,BC) = (OB,OC) + (OC,BC) = - (OC,OB) + (CO,CB) = - (OC,OB) - (CB,CO) = - 3π/4 - π/8 = - 7π/8 .

(CB,DO )= je ne trouve pas
(OB,OH )= je ne trouve pas non plus...

2. BD est perpendiculaire à OC et OC coupe [BD] en son milieu H ( car D symétrique de B) donc on a les points H, O, C qui sont alignés...
   et je sais pas comment continuer ?

Voilà j'en suis là, merci d'avance !

[Noemi]

Applique le même raisonnement, utilise DB.

[Pierre-Paul]

j'y arrive plus, on commence par ça ?
(CB,DO)= (CB,DB) + (DB,DO) = -(DB,CB)+(BD,OD)= -(DB,CB)-(OD,BD) = .... ?

[Noemi]

(CB,DO)= (CB,DB) + (DB,DO)
= -3π/8 -π/4
= ....

[Pierre-Paul]

(CB,DO)= (CB,DB) + (DB,DO)
= -3π/8 -π/4
= -5π/8 ??

[Noemi]

C'est correct.

[Pierre-Paul]

Merci.
Pour vérifier que le triangle OHB est un triangle rectangle isocèle, j'utilise quoi ?

[Noemi]

Détermine la mesure des angles.

[Pierre-Paul]

Comme ça ?
BD est perpendiculaire à OC et OC coupe [BD] en son milieu H ( car D symétrique de B) donc H, O, C alignés , ainsi HOB = (180° - 135°) = 45°
et BH est perpendiculaire à HO donc HBO = 45°
?

[Iron]

Bonjour Pierre-Paul,

Un petit coup de pouce en attendant le retour de Noemi ...

Essaie en 1ère S et dans ce chap de rester en radians.

en 1) tu as calculé (OB${}^{\to }$,OH${}^{\to }$)=$pi$/4

Citation
(BD) est perpendiculaire à (OC) et (OC) coupe [BD] en son milieu H ( car D symétrique de B par rapport à (OC)) donc H, O, C alignés
Oui ... attention à la notation des droites avec les () que j'ai ajoutées

Dans le triangle OBH, la somme des angles vaut $pi$
(OB${}^{\to }$,OH${}^{\to }$)+(BH${}^{\to }$,BO${}^{\to }$)+(HO${}^{\to }$,HB${}^{\to }$)=$pi$

Tu en déduis (BH${}^{\to }$,BO${}^{\to }$)=...

Les angles à la bases (OB${}^{\to }$,OH${}^{\to }$) et (BH${}^{\to }$,BO${}^{\to }$) sont ..., le triangle OBH est donc ... de sommet principal ...

De plus, (HO${}^{\to }$,HB${}^{\to }$)=... le le triangle OBH est donc ... en ...

Pour les longueurs, pense au théorème de Pythagore dans OBH puis dans CBH

[Pierre-Paul]

Bonjour,

Merci pour votre aide ! J'oublie toujours de rester en radians..
Donc :
(BH,BO)= pi/2

Les angles à la bases (OB,OH) et (BH,BO) sont égaux, le triangle OBH est donc isocèle de sommet principal H

De plus, (HO,HB)=pi/4
Le triangle OBH est donc rectangle en H
c'est correct ?

Et dans la question 1) (OB,BC) = 9pi/8 ou = -7pi/8 ?

Merci beaucoup!

[Iron]

Pierre-Paul
Bonjour,

Merci pour votre aide ! J'oublie toujours de rester en radians..
Donc :
(BH,BO)= pi/
4

Les angles à la bases (OB,OH) et (BH,BO) sont égaux, le triangle OBH est donc isocèle de sommet principal H

De plus, (HO,HB)=pi/
2
Le triangle OBH est donc rectangle en H
c'est correct ?

[Pierre-Paul]

Oups, merci !
Pour les longueurs je dois faire avec Pythagore ? j'y arrive pas vraiment...
Pour BH j'ai trouvée √2/2 en faisant avec la trigo, c'est juste ?

[Iron]

Pierre-Paul

Et dans la question 1) (OB,BC) = 9pi/8 ou = -7pi/8 ?

-7$pi$/8 est la mesure principale de 9$pi$/8

je te montre :

(OB;BC)=(-BO;BC)=$pi$+(BO;BC)=$pi$+$pi$/8=9$pi$/8

(OB;BC)=9$pi$/8
(OB;BC)=($pi$+8$pi$)/8
(OB;BC)=$pi$/8+$pi$
(OB;BC)=$pi$/8-$pi$ [2$pi$] car $pi$=-$pi$ [2$pi$]
(OB;BC)=$pi$/8-8$pi$/8 [2$pi$]
(OB;BC)=($pi$-8$pi$)/8 [2$pi$]
(OB;BC)=-7$pi$/8 [2$pi$]

[Pierre-Paul]

Ah, je vois, merci pour l'explication !

[Pierre-Paul]

En fait, j'ai réussi a trouver les longueurs, je sais pas si elles sont juste mais tant pis.
Juste une dernière question, pour la dernière question je dois faire comment ?
merci d'avance

[Iron]

Retour tardif ... désolé

(OB;OH)=$pi$/4 et (HO;HB)=$pi$/2
triangle OBH isocèle rectangle en H, donc HO=HB

Th de Pyt dans OBH : BO² = HO² + HB² = 2 HO² avec BO=1
Tu en déduis HO = HB = ...

BOC isocèle en O donc OC = OB = 1
Dans BCH rectangle en H, tu connais HB et HC=HO+OC

Th de Pythagore, tu en déduis BC = ...

Citation
c) En déduire les valeurs exactes de cos(π/8) et de sin(π/8)
Dans BCH rect en H :

sin$pi$/8 = BH/BC = ... = ...= ...

cox$pi$/8 = HC/BC = ... = ...= ...

Si tu parviens à simplifier proprement, tu peux aboutir à

$sin(\frac{\pi }{8})=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$
et
$cos(\frac{\pi }{8})=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$
sauf erreur de ma part ...