QCM limites de fonctions

[Chaus'sette]

Bonjour à tous ! J'ai un exo à faire pour demain et le truc c'est que je me retrouve coincé aux deux dernieres questions ,donc un peu d'aide ne me ferait pas de mal !

1. La droite d'équation x=1 est asymptote à la courbe de g pour g définie par : a) g(x)=1-x/x-1 ; b) g(x)=√(-x-4)/x-1 ou c) g(x)=1/√(2x-2) ?

Je sais que ceci est vrai pour $li{m}_{x\to 1}$g(x)=+∞ mais le problème c'est ça me donne des formes indéterminées et je ne sais pas trop comment faire ...

2. La droite d'équation y=1/2 est asymptote à la courbe de h pour h définie par : a) h(x)=2x+1/x²+1 ; b) h(x)=x-1/2x²+1 ou c) h(x)=√(x²+x+1)-x .

Je sais qu'il faut faire $li{m}_{x\to +\infty }$h(x)-1/2=0 . Donc j'ai obtenu , $li{m}_{x\to +\infty }$h(x)-1/2=-1/2 pour la a) , donc cette réponse est à exclure .
Ensuite j'ai obtenu un résultat similaire pour la b) donc elle est également à exclure mais je me retrouve coincé au niveau de l'indétermination pour la c) , qui je pense est la bonne réponse .

Merci à tous ceux qui passeront par là

[Noemi]

Bonjour Chaus'sette,

1. factorise pour supprimer la forme indéterminée.
2. Calcule la limite de h(x) - 1/2.

[Chaus'sette]

Merci Noémi pour la 1) mais pour la 2) c'est ce que j'ai fait mais j'obtiens ça : $li{m}_{x\to +\infty }$ (√(x²+x+1) - x )(√(x²+x+1)+x) / √(x²+x+1)+x - 1/2
donc $li{m}_{x\to +\infty }$ x²+x+1-x² / √(x²+x+1)+x -1/2
donc $li{m}_{x\to +\infty }$ x+1 / √(x²+x+1) -1/2
Or ceci ne tend pas vers 0 !! :S

[Noemi]

Tu as oublié un x au dénominateur .

[Chaus'sette]

Effectivement mais cela ne change rien à la limite qui ne tend pas vers 0 nop' ?

[Noemi]

Tu dois trouver 0,

Indique tes calculs; Mets x en facteur.

[Chaus'sette]

après utilisation de la quantité conjuguée j'obtiens : $li{m}_{x\to +\infty }$ h(x)-1/2 = x+1 / √(x²+x+1)+x -1/2
Or $li{m}_{x\to +\infty }$ x+1 = +∞
$li{m}_{x\to +\infty }$ √(x²+x+1)+x = +∞
$li{m}_{x\to +\infty }$ -1/2 = -1/2
donc par somme $li{m}_{x\to +\infty }$ √(x²+x+1)+x -1/2 = +∞
Or ∞/∞ est une forme indeterminée .... Je ne m'en sors pas

[Noemi]

limx→+∞ h(x)-1/2 = x+1 / √(x²+x+1)+x -1/2
=x(1-1/x) / x(√(1+1/x+1/x²) + 1) - 1/2
qui tend vers
1/2 - 1/2 = 0

[Chaus'sette]

Je suis désolé mais je ne vois pas comment x(1-1/x) / x(√(1+1/x+1/x²) + 1) = 1/2 ?

[Noemi]

x(1-1/x) / x(√(1+1/x+1/x²) + 1)
si tu simplifies le x cela donne
(1-1/x) / (√(1+1/x+1/x²) + 1)
et si x tend vers ∞, 1/x tend vers 0 et 1/x² tend vers 0
soit
(1-0)/[(1+0+0)+1] = 1/2

[Chaus'sette]

Ah oui , très bien d'accord merci , je ne connaissais pas cette méthode !

Est-ce que tu pourrais m'aider à factoriser g(x)=1-x²/x-1 pour la question 1) ; j'ai trouvé $li{m}_{x\to 1}$g(x) = x²(1/x² - 1) / x(1-1/x) cependant je n'arrive pas à conclure car cela me donne $li{m}_{x\to 1}$ x² =1
$li{m}_{x\to 1}$ 1/x² - 1 = 0 donc par produit $li{m}_{x\to 1}$ x²(1/x²-1) = 0 .
$li{m}_{x\to 1}$ x =1 et $li{m}_{x\to 1}$ 1-1/x = 0 donc par produit $li{m}_{x\to 1}$x(1-1/x) = 0 .
Or par quotient 0/0 est une forme indeterminée ... je tourne et retourne en rond ...

[Noemi]

(1-x²)/(x-1) = (1-x)(1+x)/(x-1) soit x+1 si x different de 1
donc la limite ....