Résoudre un problème avec les suites en utilisant la méthode de Héron

Bonsoir à tous, voilà j'ai un exercice à faire mais je n'y arrive pas donc j'ai besoin de votre aide le voici:

"soit un rectangle dont l'aire est égale à 2. si sa largeur est l, sa longueur est 2/l. La moyenne des 2 dimensions est donc 1/2*(l+(2/l)).
on construit alors un nouveau rectangle d'aire 2 dont la largeur est égale à cette moyenne. on calcule la longueur de ce rectangle, puis la moyenne des 2 dimensions, etc...

En itérant le procédé, les rectangles ainsi construits se rapprochent d'un carré d'aire 2, donc de côté racine carré de 2. $2\sqrt{2}$ .
En terme modernes, cet alogorithme de calcul approché de racine carré de 2. $2\sqrt{2}$ utilise la suite u définie sur N par:
Un+1=1/2*(Un+(2/Un)) et U0=l
où l est un réel strictement positif

a l'aide de la courbe representative de la focntion x →1/2*(x+(2/x)). vérifier graphiquement que la suite u semble converger. vers quoi?
montrer pour tout entier n≥1 , Un≥ à racince carré de 2 (√2).

3°) montrer que la suite u est décroissante; conclure quant à la convergence de la suite u. on determinera sa limite.
4) a) montrer que pour tout entier n:
Un+1-√2 ≤ (1/(2√2))(Un- √2)² ≤ 1/2 (Un- √2)²

b) montrer par récurrence que pour tout entier n≥1 :
Un -√2 ≤ (1/2) $^{2n}$ * (Un- √2)

c) on choisit ici l=2. au bout de combien d'itérations sera t-on que Un est une valeur approchée de √2 à $10^{-9}$ prés?

5° ALGO
a)pour tout précision e>0, on souhaite connaitre le nombre d'interactions pour lequel on est sûr que Un est une valeur approchée de √2 à e prés. on propose l'algorithme ci contre

variables: n: entier:e,l:réels
début
entrer (l;e);
$n←0n\leftarrow 0$
tant que
$(12)2n\left(\frac{1}{2} \right)^{2n}$ × ≥ $(l−2)(l-\sqrt{2})$ ≥ e
faire $n←n+1n\leftarrow n+1$

FinTantQue
afficher (n);
fin

justifier qu'il permet de résoudre le probléme.
b) programmer l'algorithme, puis l'éxecuter pour:
i)l=101 et e= $10^{-4}$
ii) l=50 et e= $10^{-4}$
c) commenter les résultats obtenus

voilà après avoir écrire ce gros pavé, j'espere que quelqu'un va m'aider

j'ai commencé à tracer les triangles pour mieux comprendre le probléme et la courbe de la focntion x →1/2*(x+(2/x))

apres j'ai besoin de votre aide pour la convergence de cette courbe et le reste de l'exercice

merci à tous de votre aide!

Bonsoir terminales,

Pour la convergence, c'est une étude graphique.

C'est pour la suite que je n'arrive pas. Merci noemi de m'avoir répondu

Pour la question 2, tu supposes que la suite tend vers l et tu calcules l.

Comment je fais pour calculer l? En le remplaçant par un nombre?

non, tu résous
l = 1/2(l + 2/l)

Ok J'arrive

J'arrive pas trouvé une valeur de l pourtant c'est simple

2l = l + 2/l,

réduis au même dénominateur puis résous l'équation du second degré.

l=l/2 + 4/l c'est ça?

c'est pas ça?

je sais plus svp

2x = x + 2/x donne
x = 2/x
soit x² = 2
donc comme x > 0, x = ....

x=√2
c'est ça?

Oui

je fais comment pour la 3)?

Etudie les variations de la fonction f

gaphiquement ou en calculant?

Par le calcul, dérivée, sens de variation.

$fichier math$
j'ai ça mais je ne sais pas comment trouver les variations de f

la dérivée de 1/2 est 0
comment je fais déja pour trouver lé dérivée de x+(2/x)? :-$

Calcule la dérivée de x puis de 2/x

x=1
2/x= 2 (x ^ (-1))
apres je fais comment?

je pense que je dois faire un tableau non? mais je ne sais pas trop comment le faire

la dérivée de x est 1, la dérivée de 2/x est -2/x²
donc la dérivée de la fonction est ....

-2/x²

please noemi aide moi c'est pas ça?

non la dérivée est 1/2 (1-2/x²)

ah oui je vois
comment je fais apres poiur montrer que la suite u est decroissante

Etudie le signe de la dérivée et le sens de variation.

je fais comment ?

Résous f'(x) = 0 et étudie le signe de la dérivée sur chaque intervalle de définition.

Je pense que je dois faire un tableau non? mais je ne sais pas trop comment le faire

Fais un tableau de variation avec la valeur interdite et les valeurs qui annulent la dérivée.

quelle est la valeur interdite? c'est 1? je dis ça car 1 est la dénominateur de 2/x

Non 0.

j'arrive pas à faire mon tableau

voilà ce que j'ai fais mais j'arrive pas $fichier math$

Pour le sens de variation de la suite compare un+1/un avec 1

je comprends pas quand tu dis Un+1/un AVEC 1