Etudes de fonctions, Exponentielles, ...

Soit a un nombre réel quelconque. Dans un repère Ta est la tangente à la courbe C de la fonction exponentielle au point Ma d'abscisse a.

Déterminer une équation de la tangente Ta
Pour une valeur de a fixée, on considère la fonction fa définie par : fa(x)=exp^x-exp^a(x-a)-exp^a.
a) Calculer la dérivée de la fonction fa.
b) Dresser le tableau de variation de la fonction fa.
c) Etudier la position relative de la courbe C par rapport à l'une de ses tangentes quelconques.

J'ai déjà répondu à la question 1 mais pour la 2, je bloque ..

Merci d'avance

Bonsoir Me-remember-me.

Quelle est la dérivée par rapport à x de $e^x$ ?
de (x-a) ?
Dérivée d'une somme ?

La dérivée de ex c'est ex, de (x-a) c'est 1 et d'une somme c'est u'v+uv'
Celle de exponentielle a c'est quoi ?

a est un nombre réel quelconque donc $e^a$ est une constante est la dérivée d'une constante est 0.

Pourquoi la dérivée de exp(a) ce n'est pas elle même ? J'aurais pensé que ça fonctionnerait comme exp(x)

J'ai calculé la dérivée et je trouve f'(x)=exp(x)

La dérivée est f'a(x) = $e^x$ - $e^a$

Mais ce n'est pas normale que l'on trouve un $e^a$ vu que sa dérivée est nulle .. Je comprends rien.

La dérivée de ax + b est a
or
$e^a$ (x-a) = $e^a$ x - $e^a$ a

$e^a$ et a sont des constantes
donc la dérivée de
$e^a$ x - $e^a$ a est
$e^a$

En faites, moi pour calculer la dérivée de $e^a$ (x-a), j'ai utilisé la formule u*v=u'v-uv'
Mais je comprends mieux, merci

Pour le tableau de variations, on sait que $e^x$ est toujours positif. Or pour $e^a$ , on sait juste que a est un nombre réel quelconque. Je me doute juste que ça sera négatif vu le moins.

Pour le signe de la dérivée, résous l'inéquation f'a(x) >0.

$e^x$ > $e^a$

si x > a car la fonction $e^x$ est .....

La fonction $e^x$ est toujours positive

Positive et strictement croissante.

Oui, mais concernant a, elle est inférieure à x donc la fonction sera croissante vu que c'est $e^x$ qui "domine" ?

Deux cas :
si x > a ...
et si
x < a

Pourquoi x < a ?

Tu cherches le signe de $e^x$ - $e^a$
$e$ ^x $e^a$ si x = a

vu que la fonction $e^x$ est croissante,
si x > a , $e^x$ > $e^a$ , soit f'a(x) > 0 donc ....
si x < a, ......

si x > a , $e^x$ > $e^a$ , soit f'a(x) > 0 donc la fonction est croissante
si x < a, $e^x$ < $e^a$ , soit f'a(x) < 0 donc la fonction est décroissante

Donc en fait, il faut que je fasse des hypothèses en gros car on ne sait pas si x est inférieur ou supérieur à a ?

Oui,

les variations dépendent de a.

D'accord, merci beaucoup, je vais essayer de faire la dernière question.

Ils demandent d'étudier la position de la courbe C par rapport à l'une de ses tangentes quelconques. L'inconvénient c'est que y'a deux hypothèses concernant f'a(x) soit elle est croissante,soit décroissante, donc ça change tout pour la position relative, non ?

Est ce qu'il faut faire f(x)=Ta et f(x)-Ta > 0 ?

Compare l'écriture de fa(x) et celle de l'équation de la tangente Ta.

J'ai essayé quelque chose, mais je pense que ce n'est pas correct.

fa(x)=Ta
$e$ ^x $- e$ ^a $(x - a) - e$ ^a $= x e$ ^a $- a e$ ^a $e^a$
$e$ ^x $- e$ ^a $x + a e$ ^a $- e$ ^a $= x e$ ^a $- a e$ ^a $e^a$
$e$ ^x $- e$ ^a $x + a e$ ^a $- e$ ^a $- x e$ ^a $+ a e$ ^a $e^a$ =0
$e$ ^x $- 2 x e$ ^{2a} $+ 2 a e$ ^{2a} $e^{2a}$ =0
$e$ ^x $e^{2a}$ (2x-2a+1)=0

fa(x) = $e^x$ - Ta

Oui je suis d'accord. Donc fa(x) est supèrieur à Ta ?

Tu utilises les résultats obtenus à la question 2?
Dans quel domaine fa(x) > 0 ?

Fa(x) > 0 quand $e^x$ > $e^a$

Ce n'est pas le signe de la dérivée que l'on cherche, mais celui de la fonction.
Sur quel domaine varie la fonction fa ?

]-infini;+infini[

x varie de -∞ à +∞,
mais fa(x) ?

0 à +∞ ?

donc fa(x) ≥0 donc le graphe de la courbe C est toujours au dessus du graphe de la tangente.

Merci beaucoup pour votre aide.

Tu as compris tout le raisonnement ?

Oui, grâce à vous.