Statistique inégalité de bienaymé- tchebychev

Bonjour à tous, j'ai des problèmes avec cette exercice:

Soit n un entier naturel non nul.
Soit x1,x2,...,xn les valeurs d'une série statistique.
On note X sa moyenne et σ son écart type.
Soit k le nombre de valeurs de la série statistique vérifiant |xi-X|²> σ2.
On suppose > 0.
n

Montrer que ∑ (xi-X)²≥4(n-k)².
i=1
En déduire que k ≥ 3/4n.

Merci d'avance pour votre aide. Je n'y comprend rien :frowning2:

Bonjour,

Ce sujet à déjà été posé à l'adresse : http://www.mathforu.com/sujet-17990.html

Oui je l'ai remarqué mais je n'ai pas tout compris alors si vous pouviez me l'expliquez

Je n'ai compris que: "Il y a k valeurs de la série statistique vérifiant |xi-X|<2σ .

DONC : il y a (n-k) valeurs de la série statistique vérifiant |xi-X|≥2σ."

Merci

Attention, tu as inversé le sens des inégalités.

Tu élèves l'inégalité au carré
(xi-X)²≤ 4σ² pour n-k valeurs
et tu écris la somme

∑ (xi-X)²≥4(n-k)σ².

D'accod donc en rédaction cela donnerai

Il y a k valeurs de la série statistique vérifiant |xi-X|>2σ
on en déduit que n-k valeurs qui vérifie |xi-X|≥2σ
Ensuite on élève au ² pour trouver |xi-X|≥4σ²
on en conclu donc que ∑ (xi-X)²≥4(n-k)σ²

C'est juste ?

Merci beaucoup

Non,

Il y a k valeurs de la série statistique vérifiant |xi-X|>2σ
on en déduit qu'il existe n-k valeurs qui vérifient |xi-X|≤2σ
Ensuite on élève au ² pour trouver |xi-X|²≤4σ²
on en conclut donc que ∑ (xi-X)²≥4(n-k)σ²

Ok merci beaucoup dernière question:
En vous inspirant de la dernière question montrez qu'au moins 88% des valeurs d'une série statistique appartient à l'intervalle [X-3σ;X+3σ]
Comment dois-je procéder ?

Tu reprends le calcul avec k valeurs vérifiant |xi-X|>3σ

Ok merci beaucoup