Application Fonction carré et fonction inverse



  • Bonjour j'ai un dm a rendre et dans la troisième partie on me dit :

    1. Application :

    a) Parmi tous les rectangles d'aire égale à 1, quel est celui de périmètre minimal ?

    Moi j'ai trouvé ça :

    L'aire d'un rectangle est égale à l×l=1l\times l=1.
    A partir de cela je pose ma fonction définie sur ]0;+[]0;+\infty [ par : g(x)=x×1xg(x)=x\times \frac{1}{x}.

    Le périmètre lui est défini par la fonction P définie sur ]0;+[]0;+\infty [ par : p(x)=2(x+1x)p(x)=2(x+\frac{1}{x}).

    Moi par calcul j'ai pu voir que le rectangle avec le périmètre le plus petit a pour données : l=1l=1 et l=1l=1.

    Or je ne sais pas comment l'expliquer et le démontrer sur ma copie ... Pourriez-vous m'aider pour cela s'il vous plait ?

    Sinon je bloque aussi sur :

    b) Soit α\alpha et β\beta deux réels strictement positifs, démontrer que l'inégalité : αβ+βα2\frac{\alpha }{\beta}+\frac{\beta }{\alpha}\geq 2.

    Pourriez-vous me donner une piste pour démarrer svp ?


  • Modérateurs

    Bonjour,

    a) J'appelle x et y les dimensions du rectangle (x > 0 et y > 0)

    Effectivement xy=1 c'est à dire

    y=1xy=\frac{1}{x}

    p(x)=2(x+1x)p(x)=2(x+\frac{1}{x})

    Vu que tu indiques que cette question fait partie des "applications" , peut-être as-tu étudié les variations de cette fonction dans les questions précédentes?

    Sinon , tu le fais ici .

    Si tu connais les dérivées : p(x)=2(11x2)=2(x21x2)p'(x)=2(1-\frac{1}{x^2})=2(\frac{x^2-1}{x^2})
    Tu étudies le signe de P'(x) pour x > 0 et tu en déduis le sens de variation de P sur ]0,+∞[

    Le minimum est bien x=1 et g(1)=4

    Les dimensions du rectangle sont donc (1,4)

    b) Tu peux raisonner par équivalences logiques ( si tu connais )

    αβ+βα2  α2+β2αβ2  α2+β22αβ  ......\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha} \ge 2\ \leftrightarrow \ \frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\ge 2 \ \leftrightarrow \ \alpha^2+\beta ^2 \ge 2\alpha\beta \ \leftrightarrow \ ......

    Tu continues.



  • C'est une identité remarquable ? a²+b² ou ce serait plutot a²-b² ?



  • Je suis toujours bloqué au 2 j'ai trouvé cela :
    αβ+βα2\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}\geq 2
    α+βα2\leftrightarrow \alpha+\frac{\beta}{\alpha}\geq 2

    Je retrouve donc ma fonction : x+1xx+\frac{1}{x}

    J'ai donc remplacé comme cela :
    x+1x2 x2+12 x2+120 x210 (x+1)(x1)0x+\frac{1}{x}\geq 2 \ \leftrightarrow x^{2}+1\geq 2 \ \leftrightarrow x^{2}+1-2\geq 0 \ \leftrightarrow x^{2}-1\geq 0 \ \leftrightarrow (x+1)(x-1)\geq 0


  • Modérateurs

    Bonsoir coshy95,

    suis la démarche de mtschoon,
    Il reste à mettre tous les termes à gauche et à identifier une identité remarquable.


  • Modérateurs

    Bonsoir Noemi et coshy,

    Et oui...

    α2+β22αβα2+β22αβ0(..........)20\alpha^2+\beta^2 \ge 2\alpha\beta \leftrightarrow \alpha^2+\beta^2- 2\alpha\beta \ge 0 \leftrightarrow (..........)^2 \ge 0

    La dernière inégalité étant vraie , par équivalences logiques , la première l'est aussi.

    Nous t'avons presque tout dit....


Se connecter pour répondre
 

Il semble que votre connexion ait été perdue, veuillez patienter pendant que nous vous re-connectons.