4. Application Fonction carré et fonction inverse

Application Fonction carré et fonction inverse

  • C

    Bonjour j'ai un dm a rendre et dans la troisième partie on me dit :

    1. Application :

    a) Parmi tous les rectangles d'aire égale à 1, quel est celui de périmètre minimal ?

    Moi j'ai trouvé ça :

    L'aire d'un rectangle est égale à l×l=1l\times l=1l×l=1.
    A partir de cela je pose ma fonction définie sur ]0;+∞[]0;+\infty []0;+∞[ par : g(x)=x×1xg(x)=x\times \frac{1}{x}g(x)=x×x1​.

    Le périmètre lui est défini par la fonction P définie sur ]0;+∞[]0;+\infty []0;+∞[ par : p(x)=2(x+1x)p(x)=2(x+\frac{1}{x})p(x)=2(x+x1​).

    Moi par calcul j'ai pu voir que le rectangle avec le périmètre le plus petit a pour données : l=1l=1l=1 et l=1l=1l=1.

    Or je ne sais pas comment l'expliquer et le démontrer sur ma copie ... Pourriez-vous m'aider pour cela s'il vous plait ?

    Sinon je bloque aussi sur :

    b) Soit α\alphaα et β\betaβ deux réels strictement positifs, démontrer que l'inégalité : αβ+βα≥2\frac{\alpha }{\beta}+\frac{\beta }{\alpha}\geq 2βα​+αβ​≥2.

    Pourriez-vous me donner une piste pour démarrer svp ?

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Bonjour,

    a) J'appelle x et y les dimensions du rectangle (x > 0 et y > 0)

    Effectivement xy=1 c'est à dire

    y=1xy=\frac{1}{x}y=x1​

    p(x)=2(x+1x)p(x)=2(x+\frac{1}{x})p(x)=2(x+x1​)

    Vu que tu indiques que cette question fait partie des "applications" , peut-être as-tu étudié les variations de cette fonction dans les questions précédentes?

    Sinon , tu le fais ici .

    Si tu connais les dérivées : p′(x)=2(1−1x2)=2(x2−1x2)p'(x)=2(1-\frac{1}{x^2})=2(\frac{x^2-1}{x^2})p′(x)=2(1−x21​)=2(x2x2−1​)
    Tu étudies le signe de P'(x) pour x > 0 et tu en déduis le sens de variation de P sur ]0,+∞[

    Le minimum est bien x=1 et g(1)=4

    Les dimensions du rectangle sont donc (1,4)

    b) Tu peux raisonner par équivalences logiques ( si tu connais )

    αβ+βα≥2 ↔ α2+β2αβ≥2 ↔ α2+β2≥2αβ ↔ ......\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha} \ge 2\ \leftrightarrow \ \frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\ge 2 \ \leftrightarrow \ \alpha^2+\beta ^2 \ge 2\alpha\beta \ \leftrightarrow \ ......βα​+αβ​≥2 ↔ αβα2+β2​≥2 ↔ α2+β2≥2αβ ↔ ......

    Tu continues.

    C 1 réponse
  • C

    C'est une identité remarquable ? a²+b² ou ce serait plutot a²-b² ?

    C 1 réponse
  • C

    Je suis toujours bloqué au 2 j'ai trouvé cela :
    αβ+βα≥2\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}\geq 2βα​+αβ​≥2
    ↔α+βα≥2\leftrightarrow \alpha+\frac{\beta}{\alpha}\geq 2↔α+αβ​≥2

    Je retrouve donc ma fonction : x+1xx+\frac{1}{x}x+x1​

    J'ai donc remplacé comme cela :
    x+1x≥2 ↔x2+1≥2 ↔x2+1−2≥0 ↔x2−1≥0 ↔(x+1)(x−1)≥0x+\frac{1}{x}\geq 2 \ \leftrightarrow x^{2}+1\geq 2 \ \leftrightarrow x^{2}+1-2\geq 0 \ \leftrightarrow x^{2}-1\geq 0 \ \leftrightarrow (x+1)(x-1)\geq 0x+x1​≥2 ↔x2+1≥2 ↔x2+1−2≥0 ↔x2−1≥0 ↔(x+1)(x−1)≥0

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    Bonsoir coshy95,

    suis la démarche de mtschoon,
    Il reste à mettre tous les termes à gauche et à identifier une identité remarquable.

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Bonsoir Noemi et coshy,

    Et oui...

    α2+β2≥2αβ↔α2+β2−2αβ≥0↔(..........)2≥0\alpha^2+\beta^2 \ge 2\alpha\beta \leftrightarrow \alpha^2+\beta^2- 2\alpha\beta \ge 0 \leftrightarrow (..........)^2 \ge 0α2+β2≥2αβ↔α2+β2−2αβ≥0↔(..........)2≥0

    La dernière inégalité étant vraie , par équivalences logiques , la première l'est aussi.

    Nous t'avons presque tout dit....

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