DM Limites de fonction

Bonjour,
Me voilà bloqué au tout début de mon DM de maths que voici :

Ex 1: Soit la fonction numerique f définie sur I = [1; +∞[ par f(x)= (x/2)-(√(x²-1))÷x

a) On considère la droite (D) d'équation 2y-x+2=0
Déterminer lim f(x) - (0.5x-1) . Interpréter graphiquement ce résultat.
x→+∞

Ici, quoi que je fasse je tombe sur une Forme Indéterminée. Quelle simplification est requise pour y arriver?

b) Justifier que, pour tout x∈I, (√(x²-1))÷x < 1

⇔ √(x²-1) < x ⇔ x²-1 < x(√(x²-1)) ?? Et après, on peu continuer avec ca?

c) En déduire les positions relatives de (D) et (Cf) (Avec Cf courbe représentative de f(x))

Voila, en attente de votre aide, je vous remercie d'avance

Bonsoir M.Dylan

a) Pour lever l'indétermination multiplie par x + √(x²-1)

b) vu que x >1 élève chaque membre de l'inéquation au carré
soit à résoudre x²-1 < x²
...

Hum, du coup je me retrouve a déterminer la limite de 2-1/x² ?

(x/2)-[√(x²-1)÷x]-(0.5x-1) = [√(x²-1)÷x]+1Je multiplie le numérateur et dénominateur par x + √(x²-1) comme vous me l'avez indiqué et je tombe sur :
[x√(x²-1)+x²-1]/[x²*x√(x²-1)]+1 = [(x²-1)/x²]+1
= [(1-1/x²)/1]+1 = 2-1/x²C'est juste?
Et donc les limites en +∞:
lim 2 =2
lim 1/x² = 0
lim 2-1/x² =2

Ensuite on parle d'interpréter graphiquement ce résultat, dois-je parler d'asymptote?

√(x²-1) < x ⇔ x²-1<x² ⇔ -1<0Avec les justifications appropriée, terminer sur -1<0 suffi à répondre à la question?

merci

x/2 - (√(x²-1))/x -0,5x + 1 = 1 - (√(x²-1))/x
on réduit au même dénominateur
[x - (√(x²-1))]/x on multiplie numérateur et dénominateur par x + (√(x²-1))
cela donne
1/[x(x + (√(x²-1))]
expression dont tu calcules la limite en +∞
...

x² - 1 < x² équivalent à -1 < 0 qui est toujours vrai

Ah oui, merci.

Après j'ai:
2) a) Justifier que pour tout h>0, on a [f(1+h)-f(1)]÷h = 1/2 - (h+2)/[(h+1)√(h²+2h)]

Donc j'ai :
{ [(1+h)/2] - [√((1+h)²-1)/(1+h)] -[(1/2) - (√(1²-1))-1] } ÷ h
= { [(1+h)/2] - [
√(h²+2h)/(1+h)]
-(1/2)} ÷ h
= {
(h/2)- [√(h²+2h)/(1+h)] } / h
= (h/2h) - √(h²+2h)/h(1+h)
Et après?

Tu simplifies h/2h = 1/2

et tu multiplies et divises l'autre terme par √(h²+2h)

On me demande de déterminer la limite de ce qu'on a justifié quand h→0
Est-ce normal que j'ai
lim 1/2 - (h+2)/[(h+1)√(h²+2h)] = 1/2 - ( 2/ 1√0)
C'est une indétermination?! Dois-je trouver une simplification? Et si oui par où commencer?

oui,

Donc la limite est ...

Justement je ne trouve pas de simplification

la limite est -∞

Mais comment on fait pour savoir ca?

lim de référence :
la lim 1/x quand x tend vers 0 est ∞

Ah mince, je croyais que c'était une Indétermination :rolling_eyes: