DM Limites de fonction


  • M

    Bonjour,
    Me voilà bloqué au tout début de mon DM de maths que voici :

    Ex 1: Soit la fonction numerique f définie sur I = [1; +∞[ par f(x)= (x/2)-(√(x²-1))÷x

    1. a) On considère la droite (D) d'équation 2y-x+2=0
      Déterminer lim f(x) - (0.5x-1) . Interpréter graphiquement ce résultat.
      x→+∞

    Ici, quoi que je fasse je tombe sur une Forme Indéterminée. Quelle simplification est requise pour y arriver?

    b) Justifier que, pour tout x∈I, (√(x²-1))÷x < 1

    ⇔ √(x²-1) < x ⇔ x²-1 < x(√(x²-1)) ?? Et après, on peu continuer avec ca?

    c) En déduire les positions relatives de (D) et (Cf) (Avec Cf courbe représentative de f(x))

    Voila, en attente de votre aide, je vous remercie d'avance


  • N
    Modérateurs

    Bonsoir M.Dylan

    a) Pour lever l'indétermination multiplie par x + √(x²-1)

    b) vu que x >1 élève chaque membre de l'inéquation au carré
    soit à résoudre x²-1 < x²
    ...


  • M

    Hum, du coup je me retrouve a déterminer la limite de 2-1/x² ?

    (x/2)-[√(x²-1)÷x]-(0.5x-1) = [√(x²-1)÷x]+1Je multiplie le numérateur et dénominateur par x + √(x²-1) comme vous me l'avez indiqué et je tombe sur :
    [x√(x²-1)+x²-1]/[x²*x√(x²-1)]+1 = [(x²-1)/x²]+1
    = [(1-1/x²)/1]+1 = 2-1/x²C'est juste?
    Et donc les limites en +∞:
    lim 2 =2
    lim 1/x² = 0
    lim 2-1/x² =2

    Ensuite on parle d'interpréter graphiquement ce résultat, dois-je parler d'asymptote?

    √(x²-1) < x ⇔ x²-1<x² ⇔ -1<0Avec les justifications appropriée, terminer sur -1<0 suffi à répondre à la question?

    merci


  • N
    Modérateurs

    x/2 - (√(x²-1))/x -0,5x + 1 = 1 - (√(x²-1))/x
    on réduit au même dénominateur
    [x - (√(x²-1))]/x on multiplie numérateur et dénominateur par x + (√(x²-1))
    cela donne
    1/[x(x + (√(x²-1))]
    expression dont tu calcules la limite en +∞
    ...

    x² - 1 < x² équivalent à -1 < 0 qui est toujours vrai


  • M

    Ah oui, merci.

    Après j'ai:
    2) a) Justifier que pour tout h>0, on a [f(1+h)-f(1)]÷h = 1/2 - (h+2)/[(h+1)√(h²+2h)]

    Donc j'ai :
    { [(1+h)/2] - [√((1+h)²-1)/(1+h)] -[(1/2) - (√(1²-1))-1] } ÷ h
    = { [(1+h)/2] - [
    √(h²+2h)/(1+h)]
    -(1/2)} ÷ h
    = {
    (h/2)- [√(h²+2h)/(1+h)] } / h
    = (h/2h) - √(h²+2h)/h(1+h)
    Et après?


  • N
    Modérateurs

    Tu simplifies h/2h = 1/2

    et tu multiplies et divises l'autre terme par √(h²+2h)


  • M

    On me demande de déterminer la limite de ce qu'on a justifié quand h→0
    Est-ce normal que j'ai
    lim 1/2 - (h+2)/[(h+1)√(h²+2h)] = 1/2 - ( 2/ 1√0)
    C'est une indétermination?! Dois-je trouver une simplification? Et si oui par où commencer?


  • N
    Modérateurs

    oui,

    Donc la limite est ...


  • M

    Justement je ne trouve pas de simplification


  • N
    Modérateurs

    la limite est -∞


  • M

    Mais comment on fait pour savoir ca?


  • N
    Modérateurs

    lim de référence :
    la lim 1/x quand x tend vers 0 est ∞


  • M

    Ah mince, je croyais que c'était une Indétermination :rolling_eyes:


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