Déterminer le point d'intersection d'une droite et un trinôme

bonjour,

Je dois faire un exercice, j'ai réussi (je pense ) le début mais je bloque à la fin, voici l'intitulé :

"On considère la parabole P d'équation y=x²+x+1 et la droite D d'équation y=-3x+p, où p est un paramètre réel. Quelle doit être la (ou les) valeur(s) du paramètre p de telle sorte que la parobole et la droite :

a) aient exactement un point d'intersection (on déterminera les coordonnées de ce point) ?

-La parabole et la droite n'ont qu'un seul point d'intersection :

on pose l'équation : D=R

x²+x+1=-3x+p
x²+x+1-(-3x+p)=0
x²+x+1+3x-p=0
x²+4x+1-p=0

-On considère le trinôme x²+4x+1-p=0

=b²-4ac
=4²-4(1-p)
=16-4(1-p)
=12+4p

Le discriminant doit être égal à zéro pour que cette parabole ait une racine double et donc qu'elle n'ait qu'un point d'intersection avec la droite

donc 12+4p=0
4p=-12
p=-3

La valeur du paramètre p doit être de -3.

Le trinôme admet une solution double

x0= -b/2a = -2

y=-3(-2)+3 = 9

Donc A(-2;9)

b)aient exactement deux points d'intersection (on determinera les coordonnées de ces points )?

-La parabole et la droite ont deux points d'intersections

On pose l'équation : D=R

x²+x+1=-3x+p

D'après la question a) on trouve

x²+4x+1-p=0

On considère le trinome x²+4x+1-p=0

D'après la question a)on sait que delta=12+4p

Le discriminant doit etre supérieur à zéro pour que cette parabole ait 2 racines disctinctes et donc qu'elle ait deux points d'intersection avec la droite

donc 12+4p >0
4p >-12
p>-3

La valeur du paramètre p doit être supérieur à -3.

Le trinôme admet 2 racines disctinctes

x1 = (-b-√delta)/2a
=(-4-√delta)/2
= -2-(√12+4p)/2
= -2-(√3+p)

x2= (-b+√delta)/2a
= (-4+√delta)/2
= -2+(√12+4p)/2
= -2+(√3+p)

y= -3x+p
= -3 (-2-(√3+p)) -3
= 6 +3(√3+p) -3
= 3 +3(√3+p)

y= -3x+p
= -3 (-2+(√3+p)) -3
= 6 -3(√3+p) -3
= 3 -3(√3+p)

je ne sais pas si mes résultat sont bon, pouvez vous m'aider ? merci

Bonsoir pierrette 100,

Une erreur de calcul pour l'ordonnée du point A p = -3 et non 3.

Le reste est juste.

merci, mais j'ai un doute point la question b) car cela me parait bizarre d'avoir deux points d'intersection avec des coordonnées ayant des racines carré

Dans les 2 calculs ci dessous je remplace p par -3 mais j'ai dit que p devait etre strictement supérieur à -3, donc ai je le droit ? et je ne remplace pas le p de delta par -3 devrais-je le faire ? :

x1 = (-b-√delta)/2a
=(-4-√delta)/2
= -2-(√12+4p)/2
= -2-(√3+p)

x2= (-b+√delta)/2a
= (-4+√delta)/2
= -2+(√12+4p)/2
= -2+(√3+p)

y= -3x+p
= -3 (-2-(√3+p)) -3
= 6 +3(√3+p) -3
= 3 +3(√3+p)

y= -3x+p
= -3 (-2+(√3+p)) -3
= 6 -3(√3+p) -3
= 3 -3(√3+p)

p est supérieur à -3, donc tu ne peux y associer une valeur.
les solutions s'expriment en fonction de p.

donc selon vous mes calculs sont juste ?

oui c'est correct.
y a t'il une autre question à cet exercice ?

dois-je laisser le p dans les réponse :

y= -3x+p
= -3 (-2-(√3+p)) -3
= 6 +3(√3+p) -3
= 3 +3(√3+p)

y= -3x+p
= -3 (-2+(√3+p)) -3
= 6 -3(√3+p) -3
= 3 -3(√3+p)

ou dois je remplacer le p par un nombre ?

Si non mes deux points d'intersection on pour coordonnée :

B( -2-(√3+p) ; 3 +3(√3+p) )
C ( -2+(√3+p) ; 3 -3(√3+p) )

c'est bien cela ? merci

C'est juste.

tu peux éventuellement écrire autrement
x = -2-(√3+p) = -2-√3-p
et y = 3 + 3√3 + 3p

mais ce n'est pas étrange d'avoir 2 points d'intersection avec des racines alors que pour la question j'avais un nombre entier ?

Non, c'est valeurs ne sont pas étranges.