Déterminer le point d'intersection d'une droite et un trinôme


  • P

    bonjour,

    Je dois faire un exercice, j'ai réussi (je pense ) le début mais je bloque à la fin, voici l'intitulé :

    "On considère la parabole P d'équation y=x²+x+1 et la droite D d'équation y=-3x+p, où p est un paramètre réel. Quelle doit être la (ou les) valeur(s) du paramètre p de telle sorte que la parobole et la droite :

    a) aient exactement un point d'intersection (on déterminera les coordonnées de ce point) ?

    -La parabole et la droite n'ont qu'un seul point d'intersection :

    on pose l'équation : D=R

    x²+x+1=-3x+p
    x²+x+1-(-3x+p)=0
    x²+x+1+3x-p=0
    x²+4x+1-p=0

    -On considère le trinôme x²+4x+1-p=0

    =b²-4ac
    =4²-4(1-p)
    =16-4(1-p)
    =12+4p

    Le discriminant doit être égal à zéro pour que cette parabole ait une racine double et donc qu'elle n'ait qu'un point d'intersection avec la droite

    donc 12+4p=0
    4p=-12
    p=-3

    La valeur du paramètre p doit être de -3.

    Le trinôme admet une solution double

    x0= -b/2a = -2

    y=-3(-2)+3 = 9

    Donc A(-2;9)

    b)aient exactement deux points d'intersection (on determinera les coordonnées de ces points )?

    -La parabole et la droite ont deux points d'intersections

    On pose l'équation : D=R

    x²+x+1=-3x+p

    D'après la question a) on trouve

    x²+4x+1-p=0

    • On considère le trinome x²+4x+1-p=0

    D'après la question a)on sait que delta=12+4p

    Le discriminant doit etre supérieur à zéro pour que cette parabole ait 2 racines disctinctes et donc qu'elle ait deux points d'intersection avec la droite

    donc 12+4p >0
    4p >-12
    p>-3

    La valeur du paramètre p doit être supérieur à -3.

    Le trinôme admet 2 racines disctinctes

    x1 = (-b-√delta)/2a
    =(-4-√delta)/2
    = -2-(√12+4p)/2
    = -2-(√3+p)

    x2= (-b+√delta)/2a
    = (-4+√delta)/2
    = -2+(√12+4p)/2
    = -2+(√3+p)

    y= -3x+p
    = -3 (-2-(√3+p)) -3
    = 6 +3(√3+p) -3
    = 3 +3(√3+p)

    y= -3x+p
    = -3 (-2+(√3+p)) -3
    = 6 -3(√3+p) -3
    = 3 -3(√3+p)

    je ne sais pas si mes résultat sont bon, pouvez vous m'aider ? merci


  • N
    Modérateurs

    Bonsoir pierrette 100,

    Une erreur de calcul pour l'ordonnée du point A p = -3 et non 3.

    Le reste est juste.


  • P

    merci, mais j'ai un doute point la question b) car cela me parait bizarre d'avoir deux points d'intersection avec des coordonnées ayant des racines carré 😕

    Dans les 2 calculs ci dessous je remplace p par -3 mais j'ai dit que p devait etre strictement supérieur à -3, donc ai je le droit ? et je ne remplace pas le p de delta par -3 devrais-je le faire ? :

    x1 = (-b-√delta)/2a
    =(-4-√delta)/2
    = -2-(√12+4p)/2
    = -2-(√3+p)

    x2= (-b+√delta)/2a
    = (-4+√delta)/2
    = -2+(√12+4p)/2
    = -2+(√3+p)

    y= -3x+p
    = -3 (-2-(√3+p)) -3
    = 6 +3(√3+p) -3
    = 3 +3(√3+p)

    y= -3x+p
    = -3 (-2+(√3+p)) -3
    = 6 -3(√3+p) -3
    = 3 -3(√3+p)


  • N
    Modérateurs

    p est supérieur à -3, donc tu ne peux y associer une valeur.
    les solutions s'expriment en fonction de p.


  • P

    donc selon vous mes calculs sont juste ? 🙂


  • N
    Modérateurs

    oui c'est correct.
    y a t'il une autre question à cet exercice ?


  • P

    dois-je laisser le p dans les réponse :

    y= -3x+p
    = -3 (-2-(√3+p)) -3
    = 6 +3(√3+p) -3
    = 3 +3(√3+p)

    y= -3x+p
    = -3 (-2+(√3+p)) -3
    = 6 -3(√3+p) -3
    = 3 -3(√3+p)

    ou dois je remplacer le p par un nombre ?

    Si non mes deux points d'intersection on pour coordonnée :

    B( -2-(√3+p) ; 3 +3(√3+p) )
    C ( -2+(√3+p) ; 3 -3(√3+p) )

    c'est bien cela ? merci


  • N
    Modérateurs

    C'est juste.

    tu peux éventuellement écrire autrement
    x = -2-(√3+p) = -2-√3-p
    et y = 3 + 3√3 + 3p


  • P

    mais ce n'est pas étrange d'avoir 2 points d'intersection avec des racines alors que pour la question j'avais un nombre entier ?


  • N
    Modérateurs

    Non, c'est valeurs ne sont pas étranges.


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