Trigonométrie/ calcul de sinus

Bonsoir,
Je n'arrive pas à terminer un exercice dans lequel il faut préciser toutes les étapes du calcul.
Le voici:
sin(2a)=2cos(a) X sin(a).
J'ai noté toutes les étapes intermédiaires jusqu'à trouver:
sin(2a)=(racine carrée (4 - 2 racine carrée 3) X ( racine carrée 3 + 1) ) /4
Il faut que je développe pour trouver 1/2 (résultat avec la calculatrice).
Est-ce que vous pourriez m'aider à trouver les étapes menant à ce résultat s'il-vous-plaît sans passer par la calculatrice ?

Bonsoir Casiomax,

Comment as tu trouvé les valeurs de cos a et sin a ?

Je les ai calculées dans la première partie de mon exercice.

cos a = √6 + √2 le tout sur 4.
sin a = racine de ( 2 - √3) le tout sur 2.

Peux tu donner l'énoncé de la première partie ?

(√6 - √2)² = 4(2-√3)
soit √6 - √2 = ....
d'ou
√(2-√3) = .....

Dans la première partie, l'énoncé donnait cos a, il fallait calculer sin a:
On avait cos a = √6 + √2 le tout sur 4. Donc j'ai utilisé cos²a + sin²a=1.
On touve cos²a = 2 + √3 le tout sur 4.
Puis on calcule sin²a.
sin²a= 1 - cos²a = 1 - 2 + √3 le tout sur 4 = 2- √3 le tout sur 4.
Donc: sin a = racine de (2 - racine de 3) sur 4 = racine de (2 - √3) le tout sur 2.

Dans la deuxième partie, celle que je n'ai pas terminée, j'ai fait:
Sin(2a)= 2 X (racine de 6 + racine de 2 X racine de ( 2 - racine de 3) le tout sur 4.
Sin(2a)= (racine de 6 + racine de 2) X (racine de ( 2 - racine de 3)) le tout sur 4.
Sin (2a)= racine de 6 X racine de ( 2 - racine de 3) + racine de 2 X racine de (2 - racine de 3) le tout sur 4.
Sin(2a)= racine de (12 - 6 X racine de 3) + racine de (4 - 2 X racine de 3) le tout sur 4.
Sin(2a)= racine de 3 X racine de (4 - 2 X racine de 3) + racine de (4 - 2 X racine de 3) le tout sur 4.
Sin(2a)= racine de (4 - 2 X racine de 3) X ( racine de 3 +1) le tout sur 4.

Bonjour,

Comme le forum est calme et que le calcul de sin2a me semble pas être finalisé, je regarde.

Pour que le calcul de sin2a soit simple, il est utile de mettre cosa et sina sous des formes similaires.

$\fbox{\text{\cos a=\frac{\sqrt 6+\sqrt 2}{4}}$

$\text{\cos ^2a=\frac{6+2+2\sqrt{12}}{16}$

$\text{\sin ^2a=1-\frac{8+2\sqrt{12}}{16}=\frac{16-8-2\sqrt{12}}{16}=\frac{8-2\sqrt{12}}{16}=\frac{6+2-2\sqrt{12}}{16}$

On reconnait une identité remarquable

$\text{\sin ^2a=\frac{(\sqrt 6-\sqrt 2)^2}{16}$

Sauf si l'énoncé donne des précisions, il y a deux valeurs possibles pour sina : la valeur positive et son opposée (négative)

1er cas : sina > 0

$\fbox{\text{\sin a=\frac{\sqrt 6-\sqrt 2}{4}}$

$sin(2a)=2sin⁡acos⁡a=2(6−24)(6+24)=2(6−2)16=816sin(2a)=2\sin a \cos a=2(\frac{\sqrt 6-\sqrt 2}{4})(\frac{\sqrt 6+\sqrt 2}{4})=\frac{2(6-2)}{16}=\frac{8}{16}$

Après simplification :

$\fbox{\text{sin(2a)=\frac{1}{2}}$

1er cas : sina < 0

$\fbox{\text{\sin a=-\frac{\sqrt 6-\sqrt 2}{4}}$

Après calcul :

$\fbox{\text{sin(2a)=-\frac{1}{2}}$

Remarque ( non demandée) :

Le 1er cas correspond à

$\text{a=\frac{\pi}{12} (2\pi)$

Le 2eme cas correspond à

$\text{a=-\frac{\pi}{12} (\2\pi})$