Déterminer la position d'un point - extremums et géométrie dans l'espace



  • Bonjour,

    J'ai un DM comportant 4 problèmes ouverts. Le premier traite sur la géométrie dans l'espace. Voici l'énoncé :

    Dans un repère orthonormé (O;i;j;k), on donne A (1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) et I le milieu de [AB].
    Soit M un point du segment [AC], on définit le plan P par le plan orthogonal à (IM) et passant par I, il coupe la droite (OB) en N.

    Déterminer la position du point M sur le segment [AC] qui rende la distance MN minimale et donner alors cette distance.

    Voilà... Pour être honnête, je ne sais pas comment faire pour répondre à cette question. Je ne sais pas comment l'aborder. Auriez-vous des pistes s'il vous plaît, à me donner pour me débloquer un peu?

    Merci.


  • Modérateurs

    Bonsoir Veitchii,

    Exprime les coordonnées des points M, I et N.



  • I est le milieu du segment [AB]. Donc ces coordonnés sont (1/2;1/2;0)
    M on sait pas.
    N on sait pas non plus.

    Je les définis par une égalité vectorielle?


  • Modérateurs

    Choisis des inconnues pour écrire les coordonnées des points
    M appartient au segment [AC], M (x ; 0; z) avec x et z compris dans l'intervalle [0;1]
    N appartient à la droite (OB), donc N (.....)
    puis utilise l'orthogonalité.



  • Donc N (0 ; y' ; 0) avec y' compris dans l'intervalle [0;1]
    M (x ; 0 ; z) avec x et z compris dans l'intervalle [0;1]

    L'orthogonalité c'est à dire?


  • Modérateurs

    Le plan P orthogonal à (IM).



  • Et donc? Je vois pas que dois-je faire avec ce plan?

    On sait juste qui passe par I et qui coupe (OB) en N. Il devrait être aussi orthogonal à tous les plans contenant la droite (OB) ?


  • Modérateurs

    Que peut-on dire des vecteurs IM et IN ?



  • Ils sont sécants en N.


  • Modérateurs

    Le point I est commun est ils sont orthogonaux.



  • Les vecteurs IM et IN sont orthogonaux?
    Si oui, pourquoi ?

    Et comment à partir de ça peut-on répondre à la question?


  • Modérateurs

    Comment est défini le plan P ?



  • "On définit le plan P par le plan orthogonal à (IM) et passant par I, il coupe la droite (OB) en N."

    Ce qui est marqué sur l'énoncé.


  • Modérateurs

    Donc que peut- on dire des vecteurs IM et IN ?
    et la relation entre les coordonnées de ces vecteurs ?



  • Ils sont orthogonaux.

    Donc le produit scalaire de ces deux vecteurs est égale à zéro.
    IM.IN = 0


  • Modérateurs

    Oui,
    donc tu calcules le produit scalaire ce qui te donne une relation entre x et y'.
    Ensuite cherche une relation entre x et z pour la position du point M.
    Tu exprimes ensuite la distance MN en fonction de x et tu détermines le minimum.



  • Ok, donc je calcule le vecteur IM et le vecteur IN.
    J'ai trouvé :

    IM (x-1/2 ; 1/2 ; z) et IN (-1/2 ; y'-1/2 ; 0)

    IM.IN = (x - 1/2)(-1/2) + 1/2(y' - 1/2)

    = -1/2x + 1/4 + 1/2y' - 1/4

    = -1/2x + 1/2y'

    Pourriez-vous vérifier si cela est juste ?
    Et ensuite, comment je peux trouver une relation liant x et z?


  • Modérateurs

    Une erreur de signe :
    IM (x-1/2 ; -1/2 ; z) et IN (-1/2 ; y'-1/2 ; 0)

    IM.IN = (x - 1/2)(-1/2) - 1/2(y' - 1/2)

    = -1/2x + 1/4 - 1/2y' + 1/4

    = -1/2x + 1/2y'+1/2,
    Le produit scalaire est nul donc tu peux isoler y' : y' = x-1

    Le point M appartient au segment [AC] et la droite (AC) a pour équation z = -x+1,

    Le vecteur MN ( ......)
    la distance MN : .....



  • Le produit scalaire est égale à zéro donc :

    -1/2x + 1/2y' + 1/2 = 0

    => y' = x-1

    Je comprends pas comment vous faîtes pour trouver la droite (AC) d'équation z = -x+1


  • Modérateurs

    Tu détermines l'équation de la droite à partir des coordonnées des points A et C.



  • Oui mais j'ai pas appris comment déterminer une équation dans l'espace, j'ai seulement appris dans le plan.
    On calcule a, puis b et on trouve l'équation de la droite de la forme y = ax+b.

    Je comprends pas pourquoi ici c'est z


  • Modérateurs

    La droite apparient au plan, (O, i, k) donc tu peux rechercher l'équation de la droite dans ce plan.



  • D'accord.

    Donc dans le plan (O ; i ; k) la droite (AC) a pour équation z = -x + 1 car (AC) appartient au plan.

    Ensuite, on sait que le point M appartient à la droite (AC).
    Et donc à partir de là ?

    Le vecteur MN comment est-ce que je peux le trouver à partir de l'équation?


  • Modérateurs

    A partir des coordonnées des points M et N.



  • M (x ; 0 ; z)
    N ( 0 ; y' ; 0)

    Vecteur MN (-x ; y' ; -z) mais ensuite... Fin j'vois pas du tout


  • Modérateurs

    La distance
    MN² = x²+y'²+z²,
    comme y' = x-1 et z = -x+1
    Tu calcules MN² en fonction de x
    puis tu cherches le minimum



  • Les coordonnés du vecteur MN sont bon?

    C'est pareil si j'applique la formule comme ceci :

    MN = √(-x)² + y'² + (-z)²

    MN = √x² + y'² + z²

    MN² = x² + y'² + z²

    C'est la même chose?

    Ensuite, je remplace :

    MN² = x² + (x-1)² + (-x+1)²

    MN² = x² + (x²+2x+1) + (-x²-2x+1) (id. remarq.)

    MN² = x² + 2

    C'est correcte?


  • Modérateurs

    Une erreur de signe :

    MN² = x² + (x²+2x+1) + (x²-2x+1)

    MN² = 3x² + 2



  • MN² = 3x² + 2

    J'étudie cette fonction?


  • Modérateurs

    Oui étudie cette fonction.


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