Déterminer la position d'un point - extremums et géométrie dans l'espace

Bonjour,

J'ai un DM comportant 4 problèmes ouverts. Le premier traite sur la géométrie dans l'espace. Voici l'énoncé :

Dans un repère orthonormé (O;i;j;k), on donne A (1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) et I le milieu de [AB].
Soit M un point du segment [AC], on définit le plan P par le plan orthogonal à (IM) et passant par I, il coupe la droite (OB) en N.

Déterminer la position du point M sur le segment [AC] qui rende la distance MN minimale et donner alors cette distance.

Voilà... Pour être honnête, je ne sais pas comment faire pour répondre à cette question. Je ne sais pas comment l'aborder. Auriez-vous des pistes s'il vous plaît, à me donner pour me débloquer un peu?

Merci.

Bonsoir Veitchii,

Exprime les coordonnées des points M, I et N.

I est le milieu du segment [AB]. Donc ces coordonnés sont (1/2;1/2;0)
M on sait pas.
N on sait pas non plus.

Je les définis par une égalité vectorielle?

Choisis des inconnues pour écrire les coordonnées des points
M appartient au segment [AC], M (x ; 0; z) avec x et z compris dans l'intervalle [0;1]
N appartient à la droite (OB), donc N (.....)
puis utilise l'orthogonalité.

Donc N (0 ; y' ; 0) avec y' compris dans l'intervalle [0;1]
M (x ; 0 ; z) avec x et z compris dans l'intervalle [0;1]

L'orthogonalité c'est à dire?

Le plan P orthogonal à (IM).

Et donc? Je vois pas que dois-je faire avec ce plan?

On sait juste qui passe par I et qui coupe (OB) en N. Il devrait être aussi orthogonal à tous les plans contenant la droite (OB) ?

Que peut-on dire des vecteurs IM et IN ?

Ils sont sécants en N.

Le point I est commun est ils sont orthogonaux.

Les vecteurs IM et IN sont orthogonaux?
Si oui, pourquoi ?

Et comment à partir de ça peut-on répondre à la question?

Comment est défini le plan P ?

"On définit le plan P par le plan orthogonal à (IM) et passant par I, il coupe la droite (OB) en N."

Ce qui est marqué sur l'énoncé.

Donc que peut- on dire des vecteurs IM et IN ?
et la relation entre les coordonnées de ces vecteurs ?

Ils sont orthogonaux.

Donc le produit scalaire de ces deux vecteurs est égale à zéro.
IM.IN = 0

Oui,
donc tu calcules le produit scalaire ce qui te donne une relation entre x et y'.
Ensuite cherche une relation entre x et z pour la position du point M.
Tu exprimes ensuite la distance MN en fonction de x et tu détermines le minimum.

Ok, donc je calcule le vecteur IM et le vecteur IN.
J'ai trouvé :

IM (x-1/2 ; 1/2 ; z) et IN (-1/2 ; y'-1/2 ; 0)

IM.IN = (x - 1/2)(-1/2) + 1/2(y' - 1/2)

= -1/2x + 1/4 + 1/2y' - 1/4

= -1/2x + 1/2y'

Pourriez-vous vérifier si cela est juste ?
Et ensuite, comment je peux trouver une relation liant x et z?

Une erreur de signe :
IM (x-1/2 ; -1/2 ; z) et IN (-1/2 ; y'-1/2 ; 0)

IM.IN = (x - 1/2)(-1/2) - 1/2(y' - 1/2)

= -1/2x + 1/4 - 1/2y' + 1/4

= -1/2x + 1/2y'+1/2,
Le produit scalaire est nul donc tu peux isoler y' : y' = x-1

Le point M appartient au segment [AC] et la droite (AC) a pour équation z = -x+1,

Le vecteur MN ( ......)
la distance MN : .....

Le produit scalaire est égale à zéro donc :

-1/2x + 1/2y' + 1/2 = 0

=> y' = x-1

Je comprends pas comment vous faîtes pour trouver la droite (AC) d'équation z = -x+1

Tu détermines l'équation de la droite à partir des coordonnées des points A et C.

Oui mais j'ai pas appris comment déterminer une équation dans l'espace, j'ai seulement appris dans le plan.
On calcule a, puis b et on trouve l'équation de la droite de la forme y = ax+b.

Je comprends pas pourquoi ici c'est z

La droite apparient au plan, (O, i, k) donc tu peux rechercher l'équation de la droite dans ce plan.

D'accord.

Donc dans le plan (O ; i ; k) la droite (AC) a pour équation z = -x + 1 car (AC) appartient au plan.

Ensuite, on sait que le point M appartient à la droite (AC).
Et donc à partir de là ?

Le vecteur MN comment est-ce que je peux le trouver à partir de l'équation?

A partir des coordonnées des points M et N.

M (x ; 0 ; z)
N ( 0 ; y' ; 0)

Vecteur MN (-x ; y' ; -z) mais ensuite... Fin j'vois pas du tout

La distance
MN² = x²+y'²+z²,
comme y' = x-1 et z = -x+1
Tu calcules MN² en fonction de x
puis tu cherches le minimum

Les coordonnés du vecteur MN sont bon?

C'est pareil si j'applique la formule comme ceci :

MN = √(-x)² + y'² + (-z)²

MN = √x² + y'² + z²

MN² = x² + y'² + z²

C'est la même chose?

Ensuite, je remplace :

MN² = x² + (x-1)² + (-x+1)²

MN² = x² + (x²+2x+1) + (-x²-2x+1) (id. remarq.)

MN² = x² + 2

C'est correcte?

Une erreur de signe :

MN² = x² + (x²+2x+1) + (x²-2x+1)

MN² = 3x² + 2

MN² = 3x² + 2

J'étudie cette fonction?

Oui étudie cette fonction.

f(x) = 3x²+2

3x²+2 > 0
x² > -2/3
x > -√2/3

La fonction f est décroissante sur ]-∞ ; -√2/3], et puis croissante sur [-√2/3 ; +∞[

Elle admet un minimum ayant pour abscisse -√2/3
f(-√2/3) = 3*(-√2/3) + 2 = -3√2/3 + 2

Juste que là, je pense avoir bon....

Je suppose après qu'il y'a un carré qui intervient vu que c'est MN² = 3x²+2

Donc, normalement, je dois élever le tout au carrée? Ou alors élever à la racine carrée?

Il faut utiliser la dérivée de la fonction.

Ah oui... Je suis parti trop loin.

La dérivée c'est 6x, elle s'annule en 0. Strictement décroissante sur -inf. 0 et strictement croissante sur 0 +inf.
Elle admet un minimum en 0.
Ce minimum est égale à 2 car f(0) = 3x0+2 = 2

Normalement là c'est bon?

Est-ce que il est juste d'écrire :

MN² = 2
MN = √2 ?

Et donc, pas de réponse? ^^

Est-ce racine de 2 le minimum?

Merci.

Le minimum est atteint pour x = 0, MN = √2.

les coordonnées du point M (0 ; 0; 1)

D'accord.

Par contre, y'a juste une chose dont je n'ai pas trop compris... C'est le début en fait, pour dire que les vecteurs IM et IN sont orthogonaux. Pourriez-vous me le réexpliquer s'il vous plaît ?

Merci.

Le plan P est orthogonal à la droite (IM) et passe par le point I,
le point N appartient au plan, donc (IM) orthogonal à (IN).

Le plan P est orthogonal à la droite (IM) et passe par le point I. Le point N appartient au plan P, car ce dernier coupe la droite (OB) en N. Donc (IM) orthogonal à (IN).

Mais j'arrive pas à le voir... C'est une propriété cela?

La propriété :
Si une droite est orthogonale à un plan alors elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.

D'accord. Il faut que je la cite dans mes éléments de réponses ou non?