Etudier le signe et les limites d'une fonction aux bords de son domaine de définition

Bonjour, voici un exercice que je n'arrive pas à résoudre :

Soit la fonction f définie sur Df = ]-∞;8/3[ ∪ ] 8/3;+∞[ par :
f(x) = 9+2x/8-3x

Etudier le signe de f sur Df
Déterminer les limites à gauche et à droite de f en 8/3
Donner une interprétation graphique de ces résultats.
4.Déterminer les limites en l'infini de f.
donner une interprétation graphique de ces résultats.

Merci.

Bonjour Plop1,

Je suppose que f(x) = (9+2x)/(8-3x)
1° calcule la dérivée et étudie les variations, puis dresse le tableau de variations.

Oui, la dérivée est f'(x) = -12x-11/(8-3x)² (?)
Donc le dénominateur = 0 quand x=8/3 s'annule..avec f positif jusqu'à 8/3 puis négatif..

Vérifie le calcul de la dérivée :
f'(x) = 43/(8-3x)²
étudie le signe de la dérivée
puis dresse le tableau de variation

Dérivée strictement positive de -∞ à +∞ mais qui s'annule à 8/3...cela implique f strictement croissante. (qui s’annule également à 8/3)
mais que faire (si c'est juste) après avoir trouvé cela?

8/3 est une valeur interdite la dérivée ne s'annule pas.
la fonction est croissante sur chaque intervalles.
Il te reste à chercher les limites.

J'essaie de représenter graphiquement f(x) pour déterminer les limites mais quand je remplace x dans 9+2x/(8-3x) je tombe sur des valeurs négatives...

Pour les limites en + ou - ∞, mets x en facteur au numérateur et au dénominateur
f(x) = x(2+9/x) / x(-3+8/x)
= ....

et la limite de a/x quand x tend vers ∞ est 0
donc
.....

Je crois que je n'ai pas vu encore ce genre de formule..
car je n'ai pas compris pourquoi mettre x en facteur....
mais bon je vais essayer :
f(x) = x(2+9/x) / x(-3+8/x) (en remplaçant x cela donne)
= 11/5 ∀x∈ℜ
La limite en l'infini de f serai donc 11/5 ? (comment représenter cela?)

Les limites à gauche et à droite de f en 8/5 (a/x (?)) est 0 ?
(comment représenter?)

Pour les limites en + ou - ∞, mets x en facteur au numérateur et au dénominateur
f(x) = x(2+9/x) / x(-3+8/x) en simplifiant par x si x différent de 0
f(x) = (2+9/x) / (-3+8/x)
= -2/3
sur ]8/3;+∞[, la fonction croit jusqu'a -2/3 qui est négatif donc la fonction f est négative sur cet intervalle

Cherche sur l'autre intervalle

pourquoi :
f(x) = (2+9/x) / (-3+8/x)
= -2/3 (?)

Sur l'autre intervalle ça sera 2/3 ?

f(x) = (2+9/x) / (-3+8/x)
si x tend vers + ou - ∞ ; 9/x tend vers 0 et 8/x tend vers 0
donc f(x) tend vers (2+0)/(-3+0)
soit -2/3
même valeur en + ou - ∞

Ah je vois; Donc la limite de f(x) en l'infini est -2/3...et la limite à gauche et ç droite de f en 8/3 est donc 0 ?

Non,

Si x tend vers 8/3+, 8-3x tend vers 0-
et 9 + 2x = 43/3
et limite de (43/3)/0- = -∞ en utilisant la limite de a/x

Donc limite de f en 8/3 = -∞ (à gauche et à droite?)
avec comme limite -2/3 en + et - ∞

non à gauche de 8/3
si x tend vers 8/3-, 8 - 3x tend vers 0+ donc la limite est + ∞

donc sur l'intervalle ]-∞;8/3[ f varie de -2/3 à +∞ donc elle est négative puis positive , il faut indiquer la valeur qui annule f soit x = -4,5 et préciser l'intervalle ou f est négative puis celui ou f est positive.

Sur ]-∞;8/3[ f négative puis positive et sur ]8/3;+∞[ f positive puis négative ? pourquoi x = -4,5 annule f ?

Serait il possible d'avoir un graphique pour mieux comprendre et visualiser cette fonction et ses limites?

Non

Calcule f(-4,5) ...

Sur ]-∞;-9/2[ f négative sur ]-9/2;8/3[ f est positive et sur ]8/3;+∞[ f est négative.

f(-4,5) = 0 ..

Oui

donc de -2/3 à 0 c'est bien négatif et de 0 à +∞ positif.

Merci,toutes les limites on été données mais pourrai-je avoir un graphique de la fonction?

Utilise ta calculatrice pour voir le graphique.

Ok merci!

Le graphique comporte deux asymptotes.