Géométrie analytique dans l'espace

Bonjour.
Voilà mon professeur m'a donné quelques exercices à faire ( un peu compliqué je l'avoue) et j'aimerais que vous me corrigiez si cela ne vous dérange pas ! Merci beaucoup et bonne journée/soirée à vous !

Enoncer : Dans l'espace euclidien rapporté au système d'axes orthonormés Oxyz, on donne le point P(1,0,-1), le plan π ≡ x-2y+z = 0 et les droites : a ≡ { x-y+z =2
2x+y-z =1

b ≡ { x-2y-z = 0
3x-y+2z = -1

Etablissez des équations paramétriques de la droite c passant par P, parallèles à π et
coupant la droite a
Etablissez des équations cartésiennes de la droite d passant par P et coupant les droites a et b

Moi j'ai penser à définir le vecteur directeur de a pour que a et π aient le même vecteur direct et donc, qu'il soit parallèle. Ou alors, il faut que a⊂π pour qu'il soit parallèles ?

J'aimerais juste que vous me dites la démarche à suivre s'il vous plait ^^' parce que j'ai tendance à commencer quelque chose et me rendre compte que c'est totalement faux et que ce n'est pas la méthode à suivre .

Merci !

Bonjour Walid,

Ecris l'équation de la droite dans le cas général puis utilise les trois conditions.

Bonsoir !

Je regarde dans mon cours mais je ne trouve pas la bonne méthode à utiliser ..

Dans mon cours on a :

Droite passant par un point et de vecteur directeur
Droite passant par 2 points

Et voilà. Par où commencer s'il vous plait ?...

Tu écris la relation montrant qu'un vecteur normal du plan et orthogonal à un vecteur directeur de la droite.

Franchement je ne veux pas vous prendre votre temps où vous dérangez mais je ne vois pas ce que vous voulez dire ... Moi j'ai définis le vecteur normal a π pour trouver c mais je vois que c'est pas correcte .. Merci beaucoup de consacrer votre temps pour nous.

As tu vu le produit scalaire ?

Non non

Bonjour Noemi et Walid,

Walid, je regarde ta question en attendant que Noemi soit là .

Tu ne connais pas le "produit scalaire" mais tu dois bien avoir les connaissances utiles pour faire l'exercice, sinon ton professeur ne te le demanderait pas.

Je vais te poser des questions différemment .

Lorsque tu as l'équation d'un plan sous la formeAx+By+Cz +D=0, sais-tu que le vecteur de coordonnées (A,B,C) est orthogonal au plan ?

Lorsque tu as deux vecteurs de coordonnées (X,Y,Z) et (X',Y',Z') , sais-tu que XX'+YY'+ZZ'=0est la condition nécessaire et suffisante pour qu'ils soient orthogonaux ?

Si tu connais les deux propriétés que je t'ai indiquées, je t'indique une démarche possible (c'est l'idée qu'avait Noemi, je pense)

Tu connais déjà un point de (c) : c'est le point P

En connaissant un second point, tu pourras trouver ensuite une représentation paramétrique de la droite (c).

(c) coupe (a) en un point I . I est donc un point de (c)
Ce point vérifie les équations
x-y+z=2 et 2x+y-z=1
Il te faut une 3ème équation pour pouvoir trouver ses coordonnées.

Le vecteur $n⃗(1,−2,1)\vec{n}(1,-2,1)$ est vecteur normal de (∏)
La droite (c), c'est-à-dire (PI), est parallèle à (∏)

Les vecteurs $n⃗\vec{n}$ et $pi⃗\vec{pi}$ sont donc orthogonaux.

En utilisant la seconde propriété que je t'ai indiquée, tu trouveras une troisième équation.
En résolvant le système composée des 3 équations, tu obtiendras les coordonnées de I et tu pourras terminer la solution.

Tiens nous au courant.

Bonjour et merci de m'avoir fournis plus d'explications !

Effectivement je connais les deux relations que vous m'avez citer. Donc si je comprends bien, c est // à π. Ce qui implique que le vecteur normal à π et la droite 'c' sont perpendiculaire ?

Donc si je comprends bien la démarche, il faudrait que je trouve l'intersection de la droite (c) et (a) pour pouvoir déterminer l'équation de (c) ? Mais alors.., mon professeur nous a dit de se dire cela : "Intersection = système" mais là je n'ai pas l'équation de c pour pouvoir réaliser un système ? Si ?

Franchement tout ceci m'embrouille mais bon, je ne veux pas abandonner. Je relis constamment ce que j'ai dans mon cahier pour essayer de comprendre au moins comment définir ce point I et cela me bloque.. Merci en tout cas

Effectivement, tu devrais relire ton cours et les indications que nous t'avons données.

Oui, il faut trouver les coordonnées du point I intersection de (c) avec (a).
Ce que t'a dit ton professeur est une bonne indication.
Pour trouver les coordonnées (x,y,z) de I , vu qu'il ya 3 inconnues, il te faut un système de 3 équations.

Deux de ces équations sont x-y+z=2 et 2x+y-z=1

Pour trouver la troisième, relis avec soin la fin de ma réponse précédente (et ton cours).

Courage !

Dois-je alors faire "produits (x1-x0 , y1-y0, z1-z0) où (x0,y0,z0) est le vecteur directeur de la première équation de a et (x1,y1,z1) est le vecteur directeur de la deuxième équation de a ? Cela me donnera une 3ème équation et je trouverai un point en utilisant la méthode de substitution.

Le vecteur de coordonnées (1,-2, 1) est normal au plan (∏)

En appelant (x,y,z) les coordonnées du point I (intersection de (c) avec (a), les coordonnées du vecteur $pi⃗\vec{pi}$ sont (x-1, y-0,z-(-1))c'est à dire (x-1,y,z+1)

L'orthogonalité te permet d'écrire :

(1)(x-1)+(-2)(y)+1(z+1)=0

C'est la 3ème équation que tu arranges un peu.

Ensuite, pour avoir les coordonnées de I, tu résous le système des 3 équations à 3 inconnues.

Merci

Alors j'ai trouver le point I de coordonnées (1,0,1) en utilisant la méthode de triangulation. J'ai ensuite fait : "extrémité - origine" avec les points P et I et j'ai trouver :
c ≡ x + y + 2z = 2

Pour le point I, sauf erreur, tu as dû résoudre le système :

$\left{x-y+z=2\2x+y-z=1\x-2y+z=0\right$

Pour l'abscisse de I c'est bon, mais je te conseille de revoir tes calculs pour l'ordonnée et la côte.

Remarque pour la fin : dans cette question, c'est une représentation paramétrique qui est demandée, non des équations cartésiennes.

Oui effectivement ! Excusez-moi d'avoir pris votre temps pour une erreur numérique de ma part ! Les coordonnées du point I(1,2,3) vérifié les 3 équations !
Ce qui implique que le point I est l'intersection entre a et π car I vérifie l'équation de π non ?
Ce qui veut dire que c ⊂ π et cela nous ramène à dire que c et π sont parallèles. Fin, je pense ..

Maintenant je suppose que je dois définir c sous équation paramétriques ?

Dans mon cours j'ai : " Droite passant par 2 points "

: AB { $x-x_1$ = k( $x$ _2 $x_1$ )
{ $y-y_1$ = k( $y$ _2 $y_1$ )
{ $z-z_1$ = k( $z$ _2 $z_1$ )

Et comme je connais 2 points, je pourrai utiliser ça ?

C'est bon I a pour coordonnées (1,2,3)

C'est bien la méthode de ton cours pour trouver des équations paramétriques de la droite( c).

Bonjour !

Pour les équations paramétrique de (c), je suis arrivé à :

c ≡{ x=1
y= 2k
z=4k -1

Donc pour les équations cartésienne, on obtient :

⇔ { x=1
y=2k
z=4K-1

J'en ai parler avec mon professeur, et il m'a dit de laisser tomber la deuxième question parce qu'il veut qu'on la fasse en classe et que je dois plutôt me concentrer sur les autres. Merci beaucoup pour votre aider :).

Pourrais-je poster un nouveau topic pour un nouvel exercice ?

Oui,

Pour un nouveau exercice, poste un autre topic.

D'accord, merci beaucoup

Je regarde ta réponse relative aux équations paramétriques de (c):
c'est bon, avec k ∈ R.

Mais, il ne s'agit pas d'équations cartésiennes (elles dépendent du paramètre k).

D'ailleurs, d'après l'énoncé que tu as donné, des équations cartésiennes ne sont pas demandées.

Ah donc je m'arrête aux équations paramétriques ?

Pour la question 1), tu as écrit:
Citation
Etablissez des équations paramétriques de la droite c passant par P, parallèles à π et coupant la droite a
Si c'est bien ton énoncé, tu t'arrête aux équations paramétriques.

Oui c'est bien ça, merci beaucoup !

De rien !

A+