Géométrie analytique dans l'espace euclidien

Bonjour ! Voici l'énoncer de cette exercice ..

Dans l'espace euclidien rapporté au système d'axes orthonormés Oxyz, on donne les points :

A(1,0,0) B(0,2,0) C(0,0,3) D(2,3,1)

On demande

a) Donnez une équation cartésienne du plan ABC et une paire d'équation cartésiennes de la droite OD.

b) Donnez des équations paramétriques de la droite d du plan ABC passant par A et orthogonale à la droite OD

c) Donnez des équations paramétriques de la droite d' du plan ABC passant par B et sécante à la droite OD.

Ce que j'ai fait

a) plan passant par 3 points :
A $x_1$ , $y_1$ , $z_1$ )
B $x_2$ , $y_2$ , $z_2$ )
C $x_3$ , $y_3$ , $z_3$ )

ABC ≡
{ $x-x_1$ = $k (x$ _2 $x_1$ ) + $l (x$ _2 $x_1$ )

$y-y_1$ = $k (y$ _2 $y_1$ ) + $l (y$ _2 $y_1$ )

$z-z_1$ = $k (z$ _2 $z_1$ ) + $l (z$ _2 $z_1$ )

⇔ { x-1 = -k-l
y = 2k + 2l
z = 0 ⇒ est l'équation cartésienne du plan .

Bonjour Walid,

Vérifie la relation que tu utilises.

C'est pas ça ? J'ai rien d'autres dans mon cours par rapport à ça .. Qu edois-je utiliser s'il vous plait ?

Tu as utilisé la relation :
vect AM = k vect AB + l vect AB !!

J'ai fait :

ABC ≡ { a.1 + b.0 + c.0 + d = 0
a.0 +b.2 + c.0 + d = 0
a.0 + b.0 + c.3 +d = 0

⇔ { a+d =0
2b + d =0
3c+ d =0

⇔ { a = -d
b = a/2
c = a/3

?? Merci !

Les résultats sont corrects.
Equation du plan ?

ABC ≡ -dx + a/2y + a/3z = 0 ?

Mais comment faire pour savoir si les points vérifient l'équation ? Si je prends a par exemple, et que je remplace par 1 pour "-d" je fais comment alors ? C'est vraiment pas facile à comprendre ...

A titre indicatif : j'ai un ami qui a trouver 6x+3y+2z-6=0 comme équation du plan ABC en utilisant la relation entre les vecteurs directeurs AB et AC

Le résultat de ton ami est correct.

à partir de :
a+d =0
2b + d =0
3c+ d =0
tu déduis
a = -d
b = -d/2
c = -d/3

équation du plan
ax+bx+cz+d = 0
tu remplaces a, b et c en fonction de d
-dx -d/2y - d/3z + d = 0
tu simplifies en divisant par -d
x + y/2 + z/3 -1 = 0
Si tu multiplies par 6, tu retrouves le résultat 6x + 3y + 2z - 6 = 0

Ah oui effectivement c'est un multiple de ce que j'avais, merci beaucoup, vous trouvez toujours un moment pour nous venir en aide, c'est vraiment admirable !

Donc pour la paire d'équation cartésienne de la droite OD, suffit que je prenne O(0,0,0) et D (2,3,1) et que je trouve l'équation de d en fonction de la relation entre 2 points ?

Ah oui effectivement c'est un multiple de ce que j'avais, merci beaucoup, vous trouvez toujours un moment pour nous venir en aide, c'est vraiment admirable !

Donc pour la paire d'équation cartésienne de la droite OD, suffit que je prenne O(0,0,0) et D (2,3,1) et que je trouve l'équation de d en fonction de la relation entre 2 points ?

Oui pour la recherche de l'équation cartésienne de la droite.

Re-bonsoir :

J'ai utiliser :

{ $x-x_1$ = $k (x$ _2 $x_1$ )

$y-y_1$ = $k (y$ _2 $y_1$ )

$z - z$ _1 $= k (z$ _2 $z_1$ )

Ce qui donne :

x - 0 = k( 2-0 )
y - 0 = k( 3-0 )
z - 0 = k( 1-0 )

Ce qui implique que :

k = x/2
k=y/3
k=Z

OD ≡ x/2 = y/3 = z

Le problème, c'est que je n'ai pas une paire d'équations cartésiennes mais bien qu'une seule ..

PS : Les exercices que je poste sont ceux des examens d'entrées pour l'Université Libre de Bruxelles .. Et mon professeur nous les donne alors que nous sommes en 6ème .. Vraiment pas facile ! Fin, je vous dis ça pour que vous me pardonniez de vous posez souvent des questions sur mes exercices .. Merci beaucoup

C'est correct.

Même si je n'ai pas 2 équations cartésiennes ?

Comment est définie une paire d'équations cartésiennes ?

Sincèrement, je ne sais pas ..

Dans ton cours ?

A partir de :
k = x/2
k=y/3
k=z
tu peux écrire
x - y +z = 0
2x-y-z = 0

Dans mon cours on a : On tire K d'une équation, on remplace k par sa valeur dans les 2 autres

d≡ ax + by + cz = d et a'x + b'y + c'z = d'

Comment avez- vous fait pour avoir '2x' s'il vous plait ?

A partir de :
k = x/2
k=y/3
k=z
ou x = 2k
y = 3k
z = k

tu cherches à obtenir une relation entre x, y et z sans k
exemple :
2x - y - z = 4k -3k -k = 0, donc 2x - y - z = 0

Ah d'accord !

Je peux donc écrire comme paire d'équation :

d≡ { 2x - y - z = 0
x/2 - y/3 - z = 0

?

La deuxième équation est fausse :
x = 2k
y = 3k
z = k
autre exemple
x - y + z = 0 (2k - 3k + k = 0)

Ah j'ai bien compris, merci à vous !

Pourriez-vous m'éclairer pour la question b s'il vous plait ? Je ne vois pas très bien par où commencer .. Merci !

J'ai essayer ABC∩OD mais je ne pense pas que ce soit ça..

Cherche les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite d.

Bonsoir.

J'ai utiliser la relation entre un point et un vecteur. à savoir :

$x-x_0$ = $kx_u$

$y-y_0$ = $ky_u$

$z-z_0$ = $kz_u$

En remplacant $x_0$ , $y_0$ , $z_0$ ) par les coordonnées de A, on obtient :

x = $kx_u$ -1
y = $ky_u$
z = $kz_u$

Est-ce bien ça ? Merci !

Vecteur directeur de d = $k x$ _u $+ k y$ _u $kz_u$ ?

Mais donc, avec ce vecteur directeur, que dois-je faire ? Logiquement, les vecteurs directeurs de OD et d sont perpendiculaires non ? Merci.

Oui détermine un vecteur directeur orthogonal à la droite (OD)
Le point D appartient -il au plan ABC ?
Si non cherche un vecteur normal au plan et passant par D,
puis écris l'équation de la droite passant par le point indiqué.

Le point D n'appartient pas au plan car ses coordonnées ne vérifient pas l'équation du plan ABC.

Le vecteur normal du plan est (1,1/2,1/3) non ?

Quelle relation dois-je utiliser s'il vous plait ?

Comme la droite d est incluse dans le plan ABC, le vecteur normal de d est le même que celui du plan non ?

Franchement là je suis perdu.. Je ne vois pas trop comment faire.. Merci de m'aider.

Bon ... J'ai utiliser le produit scalaire :

AB et AC sont les vecteurs directeurs qui m'ont servis à déterminer le plan ABC
Le vecteur u est le vecteur directeur de la droite d du plan

le vecteur directeur u = kAB + lAC

= k(-1;2;0) + l(-1;0;3)

=(-k;2k;0) + (-l;0;3l)

Produit scalaire :

=(-k-l ; 2k ; 3l ) . (2,3,1) =0

⇒ 2(-k-l) + 6k + 3l = 0

⇒ -2k -2l + 6k + 3l = 0

⇒ l = 4k

vecteur normal u : kAB -4kAC

= k(AB -4AC) = (5,-2,12)

Ensuite j'utilise la relation entre un vecteur directeur et un point pour trouver la droite d

⇒

$x-x_1$ = $kx_u$

$y-y_1$ = $ky_u$

$z-z_1$ = $kz_u$

Ce qui donne :

x-2 = 5k

y-3 = -2k

z-1 = 12k

d ≡ (5k, -2k, 12k)

Equation du plan ABC : 6x + 3y + 2z - 6 = 0

Vecteur normal à ce plan vect n (6;3;2)

équations paramétriques de la droite d passant par le point A
x = 6t+1
y = 3t
z = 2t

Tout ce que j'ai fait est faux alors ?

Et donc ce que vous m'avez mis là est la réponse à la question ? Eh bien, c'était si simple..

Et comment savoir si ces équations paramétriques sont orthogonale à OD ? Merci infiniment !

Franchement là, je n'ai pas très bien compris.