Donner les coefficients directeurs et les équations de droites



  • Bonsoir,

    Je suis bloqué sur cette exercice :


    Dans un repère (O,i,j), soient deux droites d et d' sécantes en un point K et non parallèles aux axes.
    Les équations cartésiennes de ces droites sont respectivement ax + by + c = 0 et a'x + b'y + c = 0.

    1/ Exprimer les coefficients directeurs m et m' des droites d et d'

    2/ On se place maintenant dans le repère (K,i,j)
    a) Ecrire les équations de d et d' dans ce nouveau repère, en fonction de m et m'. On justifiera la réponse.
    b) Soit A, un oint d'abscisse xA et B, un point de d', d'abscisses xB, tous deux distincts de K.
    En considérant le triangle KAB, démontrer que les droites d et d' sont perpendiculaires si et seulement si mm' = 1


    1/ pour la droite d : m = -a/b
    pour la droite d' : m' = -a'/b'

    2/ J'ai cherché les coordonnées du point K avec l'équation :
    ax + by + c = a'x + b'y + c
    et je trouve :
    xK = (-bc' + b'c) / (-ab' + a'b)
    yK = (ab²c' - a'b²) / (a'b^3 - ab²b')

    Et là, ... je suis bloqué...

    Pourriez vous m'aider, s'il vous plait ?



  • Bonsoir loulounts,

    Pour la question 2 a) comment écrit-on l'équation d'une droite passant par l'origine ?



  • l'équation d'une droite qui passe par l'origine s'écrit sous la forme y = mx
    donc pour d : y = mx,
    m = y / x

    mais comment je fais pour trouver un point de d dans la nouveau repère ?



  • Un point de d a pour coordonnées (x ; mx)

    Connais tu le produit scalaire ?



  • Non, je ne connais pas.
    Je sais que c'est au programme, mais nous ne l'avons pas encore vu.



  • Donc utilise la relation avec les distances.



  • Je suppose que je dois calculer la distance de K à i et de K à j ?

    Mais, ça fait quelque chose de très long...

    Pour Ki :

    Ki = racine (((-ab' + a'b + bc' - b'c) / (-ab' + a'b))² + ((a'b² - ab²c') / (a'b^3 - ab²b'))²)

    Même principe pour Kj.

    Est-ce que je suis sur la bonne piste ?
    Si oui, que dois faire après avec les distances ?
    En fait, je ne vois pas trop où cela mène...



  • Calcule KA, KB et AB avec les coordonnées dans le repère (K,i, j).

    Puis tu vérifies la relation de Pythagore.



  • AB² = (xB - xA)² + (yB - yA)²

    KA² = ((-ab'xA + a'bxA - bc' + b'c) / (-ab' + a'b))² + ((a'b^3yA - ab²b'yA + ab²c' - a'b²) / (a'b^3 - ab²b'))²

    KB² = ((-ab'xB + a'bxB - bc' + b'c) / (-ab' + a'b))² + ((a'b^3yB - ab²b'yB + ab²c' - a'b²) / (a'b^3 - ab²b'))²

    Donc, si ABK est un triangle rectangle, alors :
    (xB - xA)² + (yB - yA)² = ((-ab'xA + a'bxA - bc' + b'c) / (-ab' + a'b))² + ((a'b^3yA - ab²b'yA + ab²c' - a'b²) / (a'b^3 - ab²b'))² + ((-ab'xB + a'bxB - bc' + b'c) / (-ab' + a'b))² + ((a'b^3yB - ab²b'yB + ab²c' - a'b²) / (a'b^3 - ab²b'))²

    Je ne comprend pas le rapport...
    On doit trouver les nouvelles équations de droites, en fonction de m et m'.
    Là, j'avoue que je suis perdue.



  • Il faut utiliser les coordonnées de A, B et K dans le nouveau repère
    A(xA,mxA), B(xB,m'xB), K (0;0)
    .....



  • ça c'est pour la question 2) b), non ?
    Je n'ai toujours pas trouvé pour la 2) a)...

    Du coup, pour la b), je trouve :

    KA² + KB² = xA² + xB² + (mxA)² + (m'xB)²
    AB² = xA² + xB² + (mxA)² + (m'xB)² - (2 xA xB) (1 + mm')
    Comme xA et xB sont non nuls, il faut que :
    1 + mm' = 0
    mm' = -1

    D'où la propriété :
    "deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leur coefficients directeur vaut -1"
    (Je l'ai trouvé dans mon livre)

    Est-ce correct ?

    Merci d'avance.



  • C'est correct.

    Pour la question 2 a)
    Les deux droites passent par l'origine du repère donc de la forme y = ax.
    donc
    d : y = mx
    d' y = m'x



  • Bonjour,

    Je ne fais que passer,

    Cela aurait été bien que l'énoncé précise que les repères étaient orthonormés !
    Sans cette indication, certaines démonstrations n'ont pas de sens...

    loulounts a dû oublié de l'écrire ; il (ou elle) a d'ailleurs mis mm'=1 au lieu de mm'=-1 dans l'énoncé... Des fautes de frappe sans doute, en voulant aller vite.



  • Oui, dans l'énoncé c'est mm' = -1
    Par contre, ce n'est pas précisé que le repère est orthonormé.
    (j'ai tout recopié !)

    Un GRAND merci à Noémi !!!



  • Oui, loulounts, Noemi t'a bien aidé !

    Au sujet du repère, si rien n'est indiqué dans l'énoncé, tu peux préciser que pour le 2)b), vu qu'il faut calculer des distances et appliquer le théorème de Pythagore, tu as choisi un repère orthonormé.

    (J'espère que tu réalises que si les unités de longueur ne sont pas les mêmes sur les deux axes, aucun calcul de distance dans le plan n'a de sens )

    Bon DM !



  • Effectivement, pour le calcul des distances, il faut un repère orthonormé.
    Je l'indiquerais sur ma copie.
    Merci pour tout et peut-être à bientôt.


 

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