Calculs de produits scalaires

Bonsoir à tous

j'ai besoin de votre aide pour cet exo

Soit les points A(3;5) - B(-3;7) - C(-1;1) et D(5;-1)

1/ calculer BD.AC
2/ Montrer que AB=DC
3/ En déduire la nature du quadrilatère
4/ Comparer 2AB^2+2BC^2 et AC^2 + BD^2
5/ Dans un parallélogramme ABCD, on a 2AB^2+2BC^2........

Merci à vous

Bonsoir;

Piste pour démarrer,

$(−1−3,1−5))=(−4,−4)\vec{ac} \ (-1-3,1-5))=(-4,-4)$
$(5+3,−1−7)(8,−8)\vec{bd} \ (5+3,-1-7)(8,-8)$

$bd⃗.ac⃗=(−4)×8+(−4)×(−8)=...\vec{bd}.\vec{ac}=(-4)\times 8+(-4)\times (-8)=...$

Même si ce n'est pas demandé dans cette question, tu peux déjà tirer une conclusion.

Essaie de poursuivre.

donc c'est égal à 0
donc ils sont perpendiculaires

pouvez vous m aider pour la suite

merci

Bonsoir TOURTOIS62,

Pour la question 2, calcule les coordonnées des vecteurs AB et DC.

Pour vérification, je t'indique les coordonnées que tu dois trouver

$ab⃗(−6,2)\vec{ab} (-6,2)$
$dc⃗(−6,2)\vec{dc} (-6,2)$

Bien sûr, avec les réponses de la 1) et de la 2), tu pourras déduire directement la nature du quadrilatère (ABCD)

Bonsoir

donc pour la 2/
AB(-3 -3 et 7 -5) =(-6 et 2)
DC(-1 -5 et 1 -(-1))=(-2 et 2)

3/ le quadrilatère ABCD est donc 1 parallélogramme

4/ AB = racine de (xb-xa)^2+(yb-ya)^2
= racine de (-3-3)^2+(7-5)^2
= racine de 36+4 = racine de 40

BC = racine de (-1+3)^2+(1-7)^2
= racine de 4+36 = racine de 40

donc 2AB^2+2BC^2= 2(rac40)^2+2(rac40)^2=80+80=160

AC = racine de (-1-3)^2+(1-5)^2
= racine de 16+16= racine de 32

BD= racine de (5+3)^2+(-1-4)^2
= racine de 64+64 = racine de 128

donc AC^2+BD^2=(rac32)^2+(rac128)^2=32+128=160

donc 2AB^2+2BC^2=AC^2+BD^2

pour la 5???

Pour la 2), je pense que tu as fait une faute de frappe pour $dc⃗\vec{dc}$ ; c'est (-6,2)

Pour la 3), oui ABCD et bien un parallélogramme mais c'est un parallélogramme qui a ses diagonales perpendiculaires donc tu peux préciser que c'est un ....

Les calculs de la 4) sont bons en utilisant les coordonnées des points.

Tu aurais pu faire une démonstration générale avec le calcul vectoriel (dans un parallélogramme) mais ce n'est pas précisé dans cette question ...

Le résultat de la 5) est la formule démontrée dans la 4), mais bien sûr, avec une démonstration générale à la 4) , ce serait mieux...

mais bien sûr, avec une démonstration générale à la 4)

Comment faire cette démonstration?

Pour la 3
c'est un losange

Oui pour le losange.

Pour la démonstration générale, par exemple :

Tu sais que le carré scalaire d'un vecteur est le carré de sa norme

Tu utilises la relation de Chasles

$\text{ac^2+bd^2=\vec{ac}^2+\vec{bd}^2=(\vec{ab}+\vec{bc})^2+(\vec{ba}+\vec{ad})^2$

Tu développes les deux carrés (identités remarquables)

Ensuite, vu que tu es dans un parallélogramme, tu auras des regroupements et simplifications et tu trouveras $\text{2\vec{ab}^2+2\vec{bc}^2=2ab^2+2bc^2$

Bonjour

merci à vous pour cette aide

De rien !

Un conseil éventuel s'il s'agit d'un devoir à rendre :

A la 4), vu que tu as fait les calculs exacts avec les coordonnées proposés, tu peux les laisser.

A la 5), tu fais le calcul vectoriel général et tu tires ensuite la conclusion générale (dans le cas de tout parallélogramme)