Etudier la continuité, le signe, le sens de variation et les limites d'une fonction exponentielle

Bonjour pouvez-vous m'aider à résoudre cet exercice mais sans l'aide des intégrales.
l'objet de l'exercice est d'étudier la fonction g définie sur [0,[ par :
g(t)=(1-e^(-t))/t si t>0 et g(0)=1.

1.a. établir que g est continue en 0.
b.déterminer la limite de g en +.
2.a.Pour tout t>0,1+t<e^t.
c.en déduire le signe de g' et le sens de variation de g(on ne demande pas de construire la courbe représentative).
3.on se propose d'étudier la dérivabilité de g en 0. A cet effet on introduit la fonction h définie sur [0,+[ par h(t)=1-t+(t²/2)-e^-t.
a.calculer h' et h'', ainsi que les valeurs de h(0) et de h'(0).
b.prouver que pour tout t0 :
0<h(t)<(t^3)/6. Pour cela, on établira d'abord que 0<h''(t)<t, et on en déduira un encadrement de h' puis de h.
c.déduire de la relation précédente un encadrement de (1-e^(-t)-t)/t².
Prouver finalement que g est dérivable en 0 et que g'(0)=-1/2.
Cette dernière question me pose également quelques problèmes.
Je vous remercie de votre aide précieuse.

a) Pour cela il suffit de montrer que lim (t->0) g(t) = g(0).
C'est une forme indéterminée mais il faut utiliser une propriété du cours avec un changement de variable du type X=-t. La limite à connaître est :
lim (x->0) (e^x-1)/x =1

La suite un peu plus tard (faut trouver le temps !).... Dis moi exactement ce qui te pose problème ... merci :?

3)c) Voir formules d'encadrements ci-dessous.

La dernière question : g est dérivable en 0 si et seulement si :
lim (t->0) [g(t)-g(0)]/t existe et est finie. L'encadrement de la question précédente permet de dire que cette limite existe, elle est égale à -1/2. Donc g est dérivable en 0 et g'(0)=-1/2.

Ouf ... ce n'est pas un exercice facile mais qui permet de revoir de nombreuses définitions et propriétés.

Au plaisir petite Sarah !