continuité d'une fonction et existence de sa primitive

[Thierry]

Bonjour bonjour,

Voici quelques questions :

Le fait que f soit continue, est-ce une condition nécessaire ou suffisante à l'existence d'une primitive ?

Cela provient d'une des questions du concours puissance alpha :

f est définie sur [-3;5]. Si f admet une primitive alors f est continue sur [-3;5]. Vrai ou faux ?

[mtschoon]

Bonjour Thierry,

Quelques propositions,

A ta première question :

Je dirais OUI pour la condition suffisante
Si f est continue, alors elle admet une primitive

Je dirais NON pour la condition nécessaire
On peut trouver des fonctions (très particulières, bien sûr) qui admettent une primitive mais ne sont pas continues

Exemple :

Soit F définie sur R par:

$F(x)=x^{2}sin(\frac{1}{x^2})$ pour $x\ne 0$ et $F(0)=0$

Cette fonction F est dérivable sur R
On peut prouver aisément que
$F^{\prime }(x)=2xsin(\frac{1}{x^2})-\frac{2}{x}cos(\frac{1}{x^2})$ (formules usuelles) pour $x\ne 0$
et
$F^{\prime }(0)=0$ car $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{F(x)-F(0)}{x-0}=0$

Conséquence:

Considérons la fonction f =F', c'est à dire

$f(x)=2xsin(\frac{1}{x^2})-\frac{2}{x}cos(\frac{1}{x^2})$, pour $x\ne 0$ et $f(0)=0$

Cette fonction f est définie sur R et admet, sur R, une primitive qui est F
Cette fonction f n'est pas continue en 0 (elle n'est pas bornée au voisinage de 0)

A ta seconde question

Je dirais FAUX

[Thierry]

Ok merci mtschoon (j'ai pris le temps de bien comprendre cette fonction "très particulière").

[mtschoon]

De rien Thierry et bon dimanche