Dm de maths produit scalaire et autre

J'ai un dm de maths à faire pour lundi et voici le sujet :
On considère un triangle ABC rectangle en A. On désigne par I le milieu du côté [AB]et par J celui du côté [AC].
Le point H est le projeté orthogonal du point A sur le côté [BC].
L’objectif est de démontrer que les droites (HI) et (HJ) sont orthogonales.
On propose de l’effectuer par quatre méthodes différentes.
Les quatre questions qui suivent sont donc à traiter indépendamment, en ne s’appuyant que sur les seules prémisses initiales.

Méthode n°1 « Produit scalaire »
(a) Démontrer que HA+HB = 2HI et que HA+HC = 2HJ. (en vecteurs)
(b) Justifier les deux calculs successifs suivants : HB·HC=AB.HC=AB·HA (en vecteurs)
(c) Démontrer à l’aide des deux résultats précédents que HI·HJ=0 (en vecteurs) et conclure.
Méthode n°2 « Analytique »
On pose a = AB et b = AC et on introduit les vecteurs i=1/a*(vecteur AB) et j=1/b*(vecteur AC) puis le repère (A ; vecteur i ; vecteur j).
(a) Quel est la nature du repère (A ; vecteur i ; vecteur j) ? Justifier.
(b) Quelles sont les coordonnées des points A, B, C, I et J dans ce repère ?
Calculer les coordonnées du point H en fonction de a et de b.
(c) Calculer les coordonnées des vecteurs HI et HJ puis conclure.
Méthode n°3 « Configurations »
On désigne par K le milieu du côté [BC] et par C le cercle circonscrit au triangle AIJ.
(a) Démontrer que K ∈ C .
(b) En déduire que H ∈ C et conclure.
Méthode n°4 « Mais c’est bien sûr! »
(a) Déterminer les longueurs HI, HJ et IJ en fonction des longueurs des côtés du triangle ABC.
(b) Conclure.

J'ai réussi à faire toute le méthode n°1 mais je suis bloquée au niveau de la n°2 car je ne comprends comment trouver les coordonnées des points avec les informations données.

Pourriez-vous m'aider svp ?

Merci d'avance

Bonjour aurianemsv,

As tu répondu à la question 2 a) ? calculer la norme des vecteurs i et j ?
Tu en déduis les coordonnées de A, B et C puis I et J.

Bonjour Noemi,
Merci de votre aide.
A la question 2 a) j'avais mis que le repère était orthogonal mais finalement je ne suis pas sure de moi.
Je ne comprends comment calculer la norme des vecteurs i et j.

@aurianemsv,

La norme du vecteur i est égale à la norme du vecteur AB divisée par a, donc ....

@noemi
Je ne comprends pas comment faire sans avoir de données chiffrées. Dois-je me baser sur le fait que la distance AB = 1 ?

@aurianemsv,

C'est indiqué dans l'énoncé : distance AB = a
Donc norme du vecteur i : a/a = 1

Même raisonnement pour le vecteur j.

Fais une figure, place le repère et tu détermines les coordonnées des points.

@noemi
Ah merci beaucoup j’ai compris pour les points A B C I et J mais je trouve que le point H peut avoir n’importe quelles coordonnées tant que les deux chiffres sont pareils. Exemple (4;4) ou (6;6)

@aurianemsv,

Tu dois chercher les coordonnées de H en fonction de a et b.