Aide rapide pour révisions (logarithmes, exponentielle naturelle, espace)



  • Bonjour pourriez-vous m'aider en ce qui concerne diverses questions qui seront posées à l'examen de mon fils, j'essaie de l'aider mais malheureusement les maths ne sont pas ma tasse de thé :-(:

    Pour le chapitre fonction exponentielle et logarithme:

    1. remplir et démontrer la propriété utilisée:
    • log3x + logx = log(....)
    • log3x-log4x = log (....)
    • log 5x^2/log 2 = log (....) ^5x^2
    1. Inventer une équation exponentielle en base e impossible (solution vide)

    Chapitre Géométrie analytique

    1. que représente graphiquement le système d'équations:
      x+1=0
      z-3=0 (un crochet devant les 2 équations)
      En vous remerciant chaleureusement
      G.

  • Modérateurs

    Bonsoir Gabriele

    1. Ce sont les propriétés de la fonction log. qu'il faut utiliser<.
      log a + log b = log (a x b) et
      log a - log b = log (a/b)

    propriété qu'il faut démonter (voir le cours)

    1. Par définition exe^x > 0
      donc exe^x = - 3 est impossible

    2. Résoudre les équations et déterminer l'ensemble solution.



  • Bonsoir Noemie,

    Je te remercie pour les réponses, pour les logs cas 1 et 2 ce sont donc les propriétés produit et quotient, mais pour le 3ème cas? Une fraction de logs avec puissances ?

    En ce qui concerne les équations, est ce correcte que x=-1 et z = +3, mais il manque y, quelle est donc cette représentation graphique?

    Bonne soirée et merci encore de m'éclairer.


  • Modérateurs

    Bonjour Gabriele

    1. Pour le 3ème cas, il faut préciser l'écriture du membre de droite :
      est-ce log (5x^2/log2) ?
      dans ce cas utiliser la relation log axa^x = xxloga

    2. Cela donne l'ensemble des points de coordonnée (-1; y; 3) soit ....


  • Modérateurs

    Bonjour Gabriele et bonjour Noemi,

    Je me permets une petite précision sur le 3ème cas de la question 1, c'est à dire la transformation de log(5x2)log2\frac{log(5x^2)}{log 2}, si c'est bien de cela dont il s'agit.

    J'ignore si tes questions sont relatives au logarithme népérien (que l'on note habituellement "ln") qui est de base e, ou au logarithme décimal (que l'on note habituellement "log") qui est de base 10.
    Quelle que soit la signification, vu les questions que tu poses, les propriétés étant les mêmes, les réponses proposées conviennent.

    logalogb\frac{log a}{log b} peut s'exprimer en fonction d'un seul logarithme en base b noté habituellement logblog_b (le "b" est en indice)
    Evidemment, pour comprendre , il faut connaître les différentes fonctions logarithmes

    Ainsi, logalogb=logb(a)\frac{log a}{log b}=log_b (a)

    Dans l'exemple que tu proposes, il s'agit du logarithme en base 2 :

    log(5x2)log2=log2(5x2)\fbox{\frac{log(5x^2)}{log 2}=log_2 (5x^2)}

    Pour la question 2, je te laisse réfléchir avec la piste de Noemi.

    Reposte si besoin, bien sûr.



  • Bonjour Noemie et Mtschoon, je vous remercie de votre suivi et suis désolé si je ne comprends pas tout directement, les maths cela fait très longtemps 😞

    Alors pour les équations log, les questions sont rédigées comme retranscrites dans ma demande, il s'agit de log (décimale) sinon je suppose qu'on aurait marqué ln. La façon dont c'est formulée me pose problème car je ne sais pas si c'est log en base 5 avec x en puissance 2 ou si c'est log (10) avec 5x^2 (en tant que x). Etant donné qu'il s'agit d'une fraction je ne sais pas non plus si le dénominateur est log de base 2 ou log(10) avec 2 en tant que x.

    Mais pour résultat il doit y avoir log (...)5x^2 donc mtschoon je suppose qu'il faut raisonner autrement? le 5x^2 doit etre en dehors des crochets et le log ne peut avoir de base 2. La question est qu'est ce qui vient entre les crochets et sur quelle propriété se baser ????

    Pour le système de 2 équations noemie comment je dois l'imaginer sur une graphique? Est ce une droite ou un plan? , s'il y a x, y et z il s'agit d'un plan alors? mais alors quelle est la valeur de Y? Ce que je ne comprends pas ce sont les coordonnées de quoi? Désolé 😞


  • Modérateurs

    Rebonjour Gabriele

    Pour la 3ème réponse à la question 1, je te conseille de revoir la propriété que je t'ai indiquée pour transformer log(5x2)log2\frac{log(5x^2)}{log2} (c'est du cours : changement de base )
    Si ça peut-t'être utile, je te mets un lien :
    https://fr.khanacademy.org/math/algebra2/exponential-and-logarithmic-functions/change-of-base-formula-for-logarithms/a/logarithm-change-of-base-rule-intro

    Tu as écrit
    pour résultat il doit y avoir log (...) 5x^2

    Avec tes notations, visiblement c'est la nouvelle base, c'est à dire 2, que tu dois mettre entre parenthèses, c'est à dire
    log(2) 5x^2
    Je t'ai écrit la réponse de façon usuelle, log2 5x2log_2\ 5x^2, ce qui veut dire pareil.

    En Français, cela veut dire :
    "logarithme en base 2 de 5x²"

    J'ai employé les notations habituelles utilisées en Terminale S.
    Evidemment, vu que c'est pour ton fils que tu demandes ces renseignements, ce serait peut être utile qu'il indique les notations utilisées par son professeur, car lui doit les connaître.

    Pour la géométrie dans l'espace, Noemi t'expliquera je pense, vu qu'elle a commencé à te répondre sur ce sujet.
    Pour que tu puisses avancer, je peux te dire tout de même que yy prend toute valeur réelle vu qu'il n'y a aucune condition concernant cette variable.

    L'ensemble cherché sera une droite (parallèle à l'axe des ordonnées)

    Pour le prouver, suivant ses connaissances, ton fils pourra, par exemple, reconnaître la représentation paramétrique d'une droite dans l'espace, ou bien il pourra raisonner sur l'intersection de deux plans d'équations respectives x=1x=-1 et z=3z=3, s'aider d'un graphique, ...

    Bon courage !



  • super tes explications mtschoon, pour les logs j'ai compris:
    log3x - logx = réponse ?
    log3x-log4x = réponse ?

    par contre pour la géometrie je comprends que y peut prendre toute valeur et qu'avec x ce sera une droite // à l'ordonnée, mais ou sera z alors?, une droite // ce serait par rapport à X et Y? Je ne parviens pas à visualiser cela graphiquement.

    Encore merci pour votre patience.

    G.


  • Modérateurs

    Gabriele

    log(3x) -log (x) = log(3x/x) = log3
    log(3x) - log(4x) =log(3x/4x) = log(3/4)

    Pour la question 3, c'est la droite parallèle à l'axe des y passant par le point A de coordonnées (-1;0;3).



  • super Mtschoon, j'ai compris, sauf que je me suis trompé dans le premier log, en fait il s'agissait de
    log(3x) + log (x) = le résultat serait donc log (3x^2) ?


  • Modérateurs

    Oui c'est correct.



  • Mtschoon chapeau pour me faire comprendre cela 😉 Je peux me permettre de poser encore une dernière question en géo analytique: à savoir donner les équations cartésiennes de 2 plans parallèles distincts. Je trouve pour 2 plans // mais je ne vois pas pour 2 plans // ""distincts" ? Pourrais-tu encore m'éclairer. En te remerciant pour toutes tes explications.


  • Modérateurs

    Gabriele

    Deux plans sont parallèles si et seulement si, ils possèdent deux vecteurs normaux colinéaires.
    Exemple :
    Soit (P) d’équation cartésienne : 2x - y + 3z - 5 = 0
    Et soit (Q) d’équation cartésienne : -4x + 2y - 6z + 4 = 0
    (P) a pour vecteur normal : n1 (2;-1;3)
    Et (Q) a pour vecteur normal : n2 (-4;2;-6)
    n2 = -2 n1 donc (P) et (Q) sont parallèles.

    Pour savoir si ces deux plans sont parallèles confondus ou distincts, il faut simplifier les deux équations, de sorte à avoir les 3 premiers coefficients identiques :
    On ne touche pas à l’équation de (P) :
    On divise par (-2) l’équation de (Q) : 2x-y+3z-2 = 0

    Les deux derniers coefficients sont différents, il s’agit donc de deux équations différentes.

    Les plans (P) et (Q) sont donc strictement parallèles ou parallèles distincts .

    On peut également le justifier de la façon suivante :
    Par exemple : le point A ( 0 ;-5 ;0 ) appartient à (P).
    Or -10 + 4 = -6 : donc le point A n’appartient pas à (Q).
    Les plans ne sont donc pas confondus, ils sont distincts.


  • Modérateurs

    Rebonjour Gabriele et Noemi,

    Si besoin, je complète l'explication de Noemi par une CONCLUSION générale relative à la dernière question posée

    Soit (P) plan d'équation ax+by+cz+d=0 (a, b, c non tous nuls)
    Soit (P') plan d'équation a'x+b'y+c'z+d'=0 (a', b', c' non tous nuls)

    S'il existe k tel que a=ka , b=kb , c=kca'=ka\ ,\ b'=kb_\ ,\ c'=kc, alors (P) et ('P') sont parallèles

    Si, en plus, d=kdd'=kd, alors (P) et (P') sont parallèles confondus
    Sinon (c'est à dire dkdd' \ne kd), alors (P) et(P') sont parallèles distincts

    Exemples
    (P) x+2y+5z-1=0
    (Q) 2x+4y+10z-2=0

    Plans parallèles confondus (k=2 convient pour a'=ka , b'=kb , c'=kc , d'=kd )

    (P) x+2y+5z-1=0
    (Q) 2x+4y+10z+8=0

    Plans parallèles distincts (k=2 pour a'=ka , b'=kb , c'=kc mais pas pour d'=kd)

    Bon travail !



  • franchement si mon fils pouvait un prof pareil ce serait plus simple pour comprendre. Faire avaler la théorie à des étudiants sans visualer et expliquer celle-ci en pratique conduit à ce que ceux qui ne sont pas trop maths à se détourner complètement de cette matière !

    Merci pour toutes tes explications.

    J'espère que je pourrais encore te poser une question à la dernière si jamais mon fils en a besoin (passe son examen jeudi prochain)


  • Modérateurs

    De rien Gabriele ! Nous faisons le mieux possible.

    Bon courage pour ton fils pour Jeudi et ne te gène pas si besoin.



  • Merci Mtschoon, j'en ai déjà une nouvelle, soit résoudre l'équation logarithmique suivante:

    e^2x - 5e^x = -6

    la réponse devrait etre (ln2, ln3), je ne comprends pas comment on arriverait à cela.

    Merci de m'éclairer quant au procédé si tu as en as le temps !


  • Modérateurs

    Bonjour Gabriele,

    Il faut faire un changement de variable, poser X = exe^x et résoudre l'équation du second degré.


  • Modérateurs

    Rebonjour

    Gabriele, en principe, sur le forum, on doit mettre un seul exercice par discussion.
    Evidemment, tu es un cas particulier car tu demandes des questions courtes, mais vu le nombre, si tu as d'autres questions, ce serait bien d'ouvrir une autre discussion.

    J'espère que la piste de Noemi t'a suffit.

    Si ce n'est pas le cas, j'explicite un peu le principe.

    a) Transformations :
    e2x5ex=6e^{2x} - 5e^x = -6 <=> e2x5ex+6=0e^{2x} - 5e^x+6 =0 <=> (ex)25ex+6=0\fbox{(e^x)^2-5e^x+6=0}

    b) Changement d'inconnue : ex=Xe^x=X
    Equation auxiliaire : X25X+6=0X^2-5X+6=0
    C'est une équation du second degré à résoudre (Voir cours de Première)
    Tu trouveras deux solutions X1=2X_1=2 et X2=3X_2=3

    Remarque :
    Si tu as oublié les formules à utiliser, tu peux regarder ici:

    https://www.mathforu.com/premiere-s/le-second-degre-1ere-partie/

    c) Retour à x :
    X=2X=2 <=> ex=2e^x=2 <=>x=ln2x=ln2
    X=3X=3 <=> ex=3e^x=3 <=>x=ln3x=ln3

    Les solutions obtenues sont bien celles que tu proposes.



  • Je vous remercie pour vos réponses rapides ! j'ouvrirai une autre discussion si nécessaire en cas d'une nouvelle question


  • Modérateurs

    D'accord et bon travail !


 

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