Aide rapide pour révisions (logarithmes, exponentielle naturelle, espace)

Bonjour pourriez-vous m'aider en ce qui concerne diverses questions qui seront posées à l'examen de mon fils, j'essaie de l'aider mais malheureusement les maths ne sont pas ma tasse de thé :-(:

Pour le chapitre fonction exponentielle et logarithme:

remplir et démontrer la propriété utilisée:

log3x + logx = log(....)
log3x-log4x = log (....)
log 5x^2/log 2 = log (....) ^5x^2

Inventer une équation exponentielle en base e impossible (solution vide)

Chapitre Géométrie analytique

que représente graphiquement le système d'équations:
x+1=0
z-3=0 (un crochet devant les 2 équations)
En vous remerciant chaleureusement
G.

Bonsoir Gabriele

Ce sont les propriétés de la fonction log. qu'il faut utiliser<.
log a + log b = log (a x b) et
log a - log b = log (a/b)

propriété qu'il faut démonter (voir le cours)

Par définition $e^x$ > 0
donc $e^x$ = - 3 est impossible
Résoudre les équations et déterminer l'ensemble solution.

Bonsoir Noemie,

Je te remercie pour les réponses, pour les logs cas 1 et 2 ce sont donc les propriétés produit et quotient, mais pour le 3ème cas? Une fraction de logs avec puissances ?

En ce qui concerne les équations, est ce correcte que x=-1 et z = +3, mais il manque y, quelle est donc cette représentation graphique?

Bonne soirée et merci encore de m'éclairer.

Bonjour Gabriele

Pour le 3ème cas, il faut préciser l'écriture du membre de droite :
est-ce log (5x^2/log2) ?
dans ce cas utiliser la relation log $a^x$ = $x$ loga
Cela donne l'ensemble des points de coordonnée (-1; y; 3) soit ....

Bonjour Gabriele et bonjour Noemi,

Je me permets une petite précision sur le 3ème cas de la question 1, c'est à dire la transformation de $log(5x2)log2\frac{log(5x^2)}{log 2}$ , si c'est bien de cela dont il s'agit.

J'ignore si tes questions sont relatives au logarithme népérien (que l'on note habituellement "ln") qui est de base e, ou au logarithme décimal (que l'on note habituellement "log") qui est de base 10.
Quelle que soit la signification, vu les questions que tu poses, les propriétés étant les mêmes, les réponses proposées conviennent.

$logalogb\frac{log a}{log b}$ peut s'exprimer en fonction d'un seul logarithme en base b noté habituellement $log_b$ (le "b" est en indice)
Evidemment, pour comprendre , il faut connaître les différentes fonctions logarithmes

Ainsi, $logalogb=logb(a)\frac{log a}{log b}=log_b (a)$

Dans l'exemple que tu proposes, il s'agit du logarithme en base 2 :

$\fbox{\frac{log(5x^2)}{log 2}=log_2 (5x^2)}$

Pour la question 2, je te laisse réfléchir avec la piste de Noemi.

Reposte si besoin, bien sûr.

Bonjour Noemie et Mtschoon, je vous remercie de votre suivi et suis désolé si je ne comprends pas tout directement, les maths cela fait très longtemps

Alors pour les équations log, les questions sont rédigées comme retranscrites dans ma demande, il s'agit de log (décimale) sinon je suppose qu'on aurait marqué ln. La façon dont c'est formulée me pose problème car je ne sais pas si c'est log en base 5 avec x en puissance 2 ou si c'est log (10) avec 5x^2 (en tant que x). Etant donné qu'il s'agit d'une fraction je ne sais pas non plus si le dénominateur est log de base 2 ou log(10) avec 2 en tant que x.

Mais pour résultat il doit y avoir log (...)5x^2 donc mtschoon je suppose qu'il faut raisonner autrement? le 5x^2 doit etre en dehors des crochets et le log ne peut avoir de base 2. La question est qu'est ce qui vient entre les crochets et sur quelle propriété se baser ????

Pour le système de 2 équations noemie comment je dois l'imaginer sur une graphique? Est ce une droite ou un plan? , s'il y a x, y et z il s'agit d'un plan alors? mais alors quelle est la valeur de Y? Ce que je ne comprends pas ce sont les coordonnées de quoi? Désolé

Rebonjour Gabriele

Pour la 3ème réponse à la question 1, je te conseille de revoir la propriété que je t'ai indiquée pour transformer $log(5x2)log2\frac{log(5x^2)}{log2}$ (c'est du cours : changement de base )
Si ça peut-t'être utile, je te mets un lien :
https://fr.khanacademy.org/math/algebra2/exponential-and-logarithmic-functions/change-of-base-formula-for-logarithms/a/logarithm-change-of-base-rule-intro

Tu as écrit
pour résultat il doit y avoir log (...) 5x^2

Avec tes notations, visiblement c'est la nouvelle base, c'est à dire 2, que tu dois mettre entre parenthèses, c'est à dire
log(2) 5x^2
Je t'ai écrit la réponse de façon usuelle, $log_2\ 5x^2$ , ce qui veut dire pareil.

En Français, cela veut dire :
"logarithme en base 2 de 5x²"

J'ai employé les notations habituelles utilisées en Terminale S.
Evidemment, vu que c'est pour ton fils que tu demandes ces renseignements, ce serait peut être utile qu'il indique les notations utilisées par son professeur, car lui doit les connaître.

Pour la géométrie dans l'espace, Noemi t'expliquera je pense, vu qu'elle a commencé à te répondre sur ce sujet.
Pour que tu puisses avancer, je peux te dire tout de même que $y$ prend toute valeur réelle vu qu'il n'y a aucune condition concernant cette variable.

L'ensemble cherché sera une droite (parallèle à l'axe des ordonnées)

Pour le prouver, suivant ses connaissances, ton fils pourra, par exemple, reconnaître la représentation paramétrique d'une droite dans l'espace, ou bien il pourra raisonner sur l'intersection de deux plans d'équations respectives $x = - 1$ et $z = 3$ , s'aider d'un graphique, ...

Bon courage !

super tes explications mtschoon, pour les logs j'ai compris:
log3x - logx = réponse ?
log3x-log4x = réponse ?

par contre pour la géometrie je comprends que y peut prendre toute valeur et qu'avec x ce sera une droite // à l'ordonnée, mais ou sera z alors?, une droite // ce serait par rapport à X et Y? Je ne parviens pas à visualiser cela graphiquement.

Encore merci pour votre patience.

G.

Gabriele

log(3x) -log (x) = log(3x/x) = log3
log(3x) - log(4x) =log(3x/4x) = log(3/4)

Pour la question 3, c'est la droite parallèle à l'axe des y passant par le point A de coordonnées (-1;0;3).

super Mtschoon, j'ai compris, sauf que je me suis trompé dans le premier log, en fait il s'agissait de
log(3x) + log (x) = le résultat serait donc log (3x^2) ?

Oui c'est correct.

Mtschoon chapeau pour me faire comprendre cela Je peux me permettre de poser encore une dernière question en géo analytique: à savoir donner les équations cartésiennes de 2 plans parallèles distincts. Je trouve pour 2 plans // mais je ne vois pas pour 2 plans // ""distincts" ? Pourrais-tu encore m'éclairer. En te remerciant pour toutes tes explications.

Gabriele

Deux plans sont parallèles si et seulement si, ils possèdent deux vecteurs normaux colinéaires.
Exemple :
Soit (P) d’équation cartésienne : 2x - y + 3z - 5 = 0
Et soit (Q) d’équation cartésienne : -4x + 2y - 6z + 4 = 0
(P) a pour vecteur normal : n1 (2;-1;3)
Et (Q) a pour vecteur normal : n2 (-4;2;-6)
n2 = -2 n1 donc (P) et (Q) sont parallèles.

Pour savoir si ces deux plans sont parallèles confondus ou distincts, il faut simplifier les deux équations, de sorte à avoir les 3 premiers coefficients identiques :
On ne touche pas à l’équation de (P) :
On divise par (-2) l’équation de (Q) : 2x-y+3z-2 = 0

Les deux derniers coefficients sont différents, il s’agit donc de deux équations différentes.

Les plans (P) et (Q) sont donc strictement parallèles ou parallèles distincts .

On peut également le justifier de la façon suivante :
Par exemple : le point A ( 0 ;-5 ;0 ) appartient à (P).
Or -10 + 4 = -6 : donc le point A n’appartient pas à (Q).
Les plans ne sont donc pas confondus, ils sont distincts.

Rebonjour Gabriele et Noemi,

Si besoin, je complète l'explication de Noemi par une CONCLUSION générale relative à la dernière question posée

Soit (P) plan d'équation ax+by+cz+d=0 (a, b, c non tous nuls)
Soit (P') plan d'équation a'x+b'y+c'z+d'=0 (a', b', c' non tous nuls)

S'il existe k tel que $a'=ka\ ,\ b'=kb_\ ,\ c'=kc$ , alors (P) et ('P') sont parallèles

Si, en plus, $d^{'} = k d$ , alors (P) et (P') sont parallèles confondus
Sinon (c'est à dire $\ne kd$ ), alors (P) et(P') sont parallèles distincts

Exemples
(P) x+2y+5z-1=0
(Q) 2x+4y+10z-2=0
Plans parallèles confondus (k=2 convient pour a'=ka , b'=kb , c'=kc , d'=kd )

(P) x+2y+5z-1=0
(Q) 2x+4y+10z+8=0
Plans parallèles distincts (k=2 pour a'=ka , b'=kb , c'=kc mais pas pour d'=kd)

Bon travail !

franchement si mon fils pouvait un prof pareil ce serait plus simple pour comprendre. Faire avaler la théorie à des étudiants sans visualer et expliquer celle-ci en pratique conduit à ce que ceux qui ne sont pas trop maths à se détourner complètement de cette matière !

Merci pour toutes tes explications.

J'espère que je pourrais encore te poser une question à la dernière si jamais mon fils en a besoin (passe son examen jeudi prochain)

De rien Gabriele ! Nous faisons le mieux possible.

Bon courage pour ton fils pour Jeudi et ne te gène pas si besoin.

Merci Mtschoon, j'en ai déjà une nouvelle, soit résoudre l'équation logarithmique suivante:

e^2x - 5e^x = -6

la réponse devrait etre (ln2, ln3), je ne comprends pas comment on arriverait à cela.

Merci de m'éclairer quant au procédé si tu as en as le temps !

Bonjour Gabriele,

Il faut faire un changement de variable, poser X = $e^x$ et résoudre l'équation du second degré.

Rebonjour

Gabriele, en principe, sur le forum, on doit mettre un seul exercice par discussion.
Evidemment, tu es un cas particulier car tu demandes des questions courtes, mais vu le nombre, si tu as d'autres questions, ce serait bien d'ouvrir une autre discussion.

J'espère que la piste de Noemi t'a suffit.

Si ce n'est pas le cas, j'explicite un peu le principe.

a) Transformations :
$e^{2x} - 5e^x = -6$ <=> $e^{2x} - 5e^x+6 =0$ <=> $\fbox{(e^x)^2-5e^x+6=0}$

b) Changement d'inconnue : $e^x=X$
Equation auxiliaire : $X^2-5X+6=0$
C'est une équation du second degré à résoudre (Voir cours de Première)
Tu trouveras deux solutions $X_1=2$ et $X_2=3$

Remarque :
Si tu as oublié les formules à utiliser, tu peux regarder ici:
https://www.mathforu.com/premiere-s/le-second-degre-1ere-partie/

c) Retour à x :
$X = 2$ <=> $e^x=2$ <=> $x = l n 2$
$X = 3$ <=> $e^x=3$ <=> $x = l n 3$

Les solutions obtenues sont bien celles que tu proposes.

Je vous remercie pour vos réponses rapides ! j'ouvrirai une autre discussion si nécessaire en cas d'une nouvelle question

D'accord et bon travail !

Bonjour @mtschoon , puis-je te solliciter pour quelques questions, malheureusement mon fils a un examen de repassage en math ?

Bonjour Gabriele,

Désolée d'avoir mis longtemps à te répondre mais j'étais indisponible...(vacances obligent !)

Bien sûr que tu peux poser des questions (un exercice par discussion)