4. Exercice sur les études de fonction

Exercice sur les études de fonction

  • M

    P(x)=x^n+x^n-1+...+x-1 et P'(x)=nx^n-1+(n-1)x^n+...+1 j'arrive pas a trouvé le signe P'(x) sur ]0,1] et n: est un entièreté naturel non nul
    Et l'autre question c'est de montrer que h'(x)=1 avec h=fog ,f(x)=2x/1+x^4 et g(x)=√tanx
    h est définie sur ]0,π/2]
    moi j'ai dérivé h
    h'=g'×f'og mais en remplaçant je ne tombe sur le résultat
    Et on me demande d'en déduire une relation simple entre g^-1 et f
    Ici je sais pas par où commencé

    N 2 réponses
  • N
    Modérateurs

    Bonsoir Mamadou-Saliou
    n > 0 et x appartient à ]0 ; 1] donc x > 0 d'ou P'(x) ......

    Indique tes calculs pour la dérivée.

  • mtschoon

    Mamadou-Saliou bonsoir et bonsoir Noemi .

    Mamadou-Saliou
    Un petit "Bonjour", "Bonsoir" , "Merci" , fait plaisir aux personnes qui viennent t'apporter de l'aide .

    Merci de ne pas l'oublier à l'avenir.

  • N
    Modérateurs

    @mamadou-saliou

    Les fonctions sont bien :
    f(x)=2x1+x4f(x) =\dfrac{2x}{1+x^4}f(x)=1+x42x​ ?
    et
    g(x)=tanxg(x)=\sqrt{tanx}g(x)=tanx​ ?

  • M

    Bonsoir , c'est exactement les mêmes fonctions
    La dérivé de f est:
    2(1-3x^4)/(1+x^4)^2
    Et la dérivé de g est :
    1+ (tanx)^2 / 2√tanx

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    Bonsoir mamadou-saliou,

    Les dérivées sont justes, calcule h'.

  • M

    h'(x)=( (1+(tanx)^2) /2√tanx) x (2(1-3(tanx)^2)/(1+(tanx)^4))
    Je pense qu'il faut utiliser les transformation trigonométrie.
    Merci !

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    Des erreurs ou oubli d'exposants dans la deuxième partie.

  • M

    Bonjour , c'est (1+(tanx)^2)^2 soit h'(x)=(2(1-3(tanx)2))/(2√tanx)(1+(tanx)^2)

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    C'est :
    h'(x)=( (1+(tanx)^2) /2√tanx) x (2(1-3(tanx)^4)/(1+(tanx)^4))^2
    Trouver h'(x) = 1 me semble impossible,
    cela donnerait h"(x) = 0 ,
    d'ou mes questions :

    • l'écriture des fonctions f et g est-elle correcte ?
    • Y a t-il un lien avec la fonction P ?
  • M

    Je pense peut être qu'ils ont fait des erreurs mais quant on fait g'x fog on trouve 1

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    Exact mais d'après l'énoncé h = fog, donc
    h' = g' h ??

  • M

    Merci pour votre aide

  • mtschoon

    Bonjour à tous ,

    Je regarde ce topic qui n'a guère abouti ! dommage...

    Un aspect positif : Mamadou Saliou a fait un effort de politesse , ce qui est très bien (cela lui servira pour d'autres demandes éventuelles)

    Pour l'aspect mathématique, c'est autre chose !
    Cet énoncé est truffé d'anomalies...

    Pour la première partie,, il est écrit P(x)=x^n+x^n-1+...+x-1
    Bien que ça change en rien la dérivée demandée, j'aurais pensé que c'était plutôt
    P(x)=xn+xn−1+...+x+1P(x)=x^n+x^{n-1}+...+x+1P(x)=xn+xn−1+...+x+1
    Ainsi P(x)=1−xn+11−xP(x)=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}P(x)=1−x1−xn+1​ (convergence pour x∈]0,1[)x \in]0,1[)x∈]0,1[)

    Pour la seconde partie,
    L'intervalle ]0,π/2] ne peut pas être le bon car tanx n'est pas définie pourx=π2x=\frac{\pi}{2}x=2π​
    C'est plutôt ]0,π2[]0,\frac{\pi}{2}[]0,2π​[

    Comme la indiqué Noemi, h=fog n'aboutit à rien d'utile...
    Cette question fait intervenir la fonction Arctan...je ne pense pas que cela fasse partie du programme de TS actuel...
    Ou bien il faut que je m'actualise, ou bien Mamadou Saliou ne travaille pas sur le programme de TS actuel...

    Possibilité pour que cette question ait une fin :
    $\fbox{h=gog^{-1}}$
    donc h(x)=xh(x)=xh(x)=x d'où h’(x)=1\fbox{h'(x)=1}h’(x)=1​

    Explicitons cela:

    Calcul de g−1(x)g^{-1}(x)g−1(x) :
    x=g(y)x=g(y)x=g(y) <=>x=tanyx=\sqrt{tany}x=tany​ <=> x2=tanyx^2=tanyx2=tany <=> y=Arctan(x2)y=Arctan(x^2)y=Arctan(x2)
    Donc : $\fbox{g^{-1}(x)=Arctan(x^2)}$

    h′(x)=g′(g−1(x))×g−1′(x)=1h'(x)=g'\biggl(g^{-1}(x)\biggl) \times g^{-1'}(x)=1h′(x)=g′(g−1(x))×g−1′(x)=1
    Donc:
    $\displaystyle\fbox{g^{-1'}(x)=\frac{1}{g'\biggl(g^{-1}(x)\biggl) }}$

    g′(g−1(x))=1+(tan(g−1(x)))22tan(g−1(x))\displaystyle g'\biggl(g^{-1}(x)\biggl)=\frac{1+\biggl(tan(g^{-1}(x))\biggl)^2}{2\sqrt{tan(g^{-1}(x))}}g′(g−1(x))=2tan(g−1(x))​1+(tan(g−1(x)))2​

    Donc
    g′(g−1(x))=1+(x2)22x2\displaystyle g'\biggl(g^{-1}(x)\biggl)=\frac{1+\biggl(x^2)^2}{2\sqrt{x^2}}g′(g−1(x))=2x2​1+(x2)2​

    g′(g−1(x))=1+x42x\displaystyle g'\biggl(g^{-1}(x)\biggl)=\frac{1+x^4}{2x}g′(g−1(x))=2x1+x4​

    CONCLUSION :
    $\displaystyle \fbox{g^{-1'}(x)=\frac{2x}{1+x^4}}$

    $\displaystyle \fbox{g^{-1'}(x)=f(x)}$

    Une relation simple entre g−1g^{-1}g−1 et f est donc :
    La dérivée de g−1g^{-1}g−1 est f

    CQFD

    Au final, le but de cette seconde partie était de calculer (sans la formule usuelle) la dérivée de la fonction :
    xxx->Arctan(x2)Arctan(x^2)Arctan(x2)

  • mtschoon

    Une remarque :

    Bien qu'il ne l'ait pas précisé, Je pense que Mamadou Saliou poste en Terminale S mais que (comme saraSBH) il passe un bac étranger, d'où les divergences avec le bac S français.

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