Généralité sur les fonctions - Fonction bornée

Soit la fonction f: R→R
X→( x²+1)/(x²+3)

Détermine les nombres réels (a) et (b)
tel que pour tout réels x,
f(x)= (a)/(x²+3) + b

Deduis que f est bornée sur R

@koned
Voici ce qui je trouve
(a +b(x²+3))/(x²+3)= (x²+1)/(x²+3)

Bonjour koned ,

Une remarque : ici, la convivialité s'impose !
Un petit Bonjour ou Bonsoir, Merci, font plaisir aux personnes qui viennent apporter leur aide.
Ne l'oublie pas une autre fois si tu as besoin de nous.

Il y a une méthode astucieuse plus rapide que celle que tu a commencée, mais continue ainsi , vu que c'est la méthode usuelle.
Je t'indiquerai l'autre méthode après, si tu le souhaites.

Piste ,

En développant le numérateur:
$f(x)=a+bx2+3bx2+3=bx2+(a+3b)x2+3\displaystyle f(x)=\frac{a+bx^2+3b}{x^2+3}=\frac{bx^2+(a+3b)}{x^2+3}$

Pour tout x réel , tu procèdes par identification (tu as dû voir cela en cours) :
$bx^2+(a+3b)=x^2+1$

$b = . . .$
$a + 3 b = . . .$

Tu résous ce système pour trouver a et b

@mtschoon
Bonsoir @mtschoon je m excuse pour la dernière fois

Bonsoir koned ,

Tu es tout à fait excusé

As-tu trouvé a et b ?

Reposte si besoin.

@mtschoon
Je trouve b=1
a=-2

@koned
Je voudrais savoir si c est juste

C'est juste.

Je t'indique la méthode plus rapide

$x2+1x2+3=x2+3−2x2+3=x2+3x2+3−2x2+3=1−2x2+3\frac{x^2+1}{x^2+3}=\frac{x^2+3-2}{x^2+3}=\frac{x^2+3}{x^2+3}-\frac{2}{x^2+3}=1-\frac{2}{x^2+3}$

Il te reste à conclure que f est bornée.

Reposte si tu n'y arrives pas ou si tu veux une vérification.

@mtschoon
Merci beaucoup @mtschoon pour cette méthode

@koned
Je voudrais savoir si je doit utiliser le tableau de signe pour conclure que f est bornée

Bonsoir koned ,
Pour montrer que la fonction est bornée, utilise les variations de la fonction ou les propriétés sur les inégalités pour encadrer $f (x)$ par un majorant et un minorant.

Bonsoir koned et bonsoir Noemi,

@koned

L'énoncé te précise : "Déduis que f est bornée sur R"

Tu n'as rien à faire sauf utiliser avec la question précédente qui est là pour ça. C'est le but !

Pense que pour tout x réel $x2≥0x^2 \ge 0$

a) $f(x)=1−2x2+3f(x)=1-\frac{2}{x^2+3}$

Tu justifies facilement que $2x2+3>0\frac{2}{x^2+3}\gt 0$ donc $\lt 1$

f est majorée par .....

b) $f(x)=x2+1x2+3f(x)=\frac{x^2+1}{x^2+3}$

Tu justifies facilement que $x2+1x2+3>0\frac{x^2+1}{x^2+3}\gt 0$ donc $\gt 0$

f est minorée par .....

Donc f est bornée.

Reposte si besoin.

Bonjour koned et mtschoon,

On peut aussi justifier que $−2x2+3\dfrac{-2}{x^2+3}$ ≥ $−23\dfrac{-2}{3}$
donc $\dfrac{2}{x^2+3}$ ≥ $13\dfrac{1}{3}$
donc $f$ est minorée par .......

@koned
Bonsoir @mtschoon et @Noemi
Donc je dois écrit simplement que
1/3≤f(x) ≤1 d où f est bornée sur [1/3 ; 1]
Je voudrais savoir si c est juste merci!

@koned

C'est correct.

@koned
Oui c'est exact, ,à condition de donner la justification, mais écrire "f est bornée sur [1/3 ; 1]" prête à confusion...car on pourrait penser que c'est x qui appartient à [1/3 ; 1].

f a une infinité de majorants et une infinité de minorants

1 est le majorant ( le plus simple obtenu avec la première question)
0 est un minorant très simple ( obtenu avec l'expression de f(x) de départ)
1/3 est un autre minorant ( obtenu par transformation de l'expression de la première question )

@mtschoon
Merci beaucoup pour votre aide
Je suis maintenant près pour mon devoir

De rien koned
C'est parfait si tu es prêt !