Limites et suites Un=1+1/2+1/3+.....+1/n

Bonjour à vous touus !
J'ai besoin d'aide dans un exercice;
(Un) est une suite définie par :
U0=1 et Un=1+1/2+1/3+.....+1/n (pour tout n appartient à IN)
1-prouvez que U2n supérieure où égale à 1/2+Un (pour tout n appartient à IN)
2- prouvez que (Un) est strictement croissante (j'ai fait cela)
3- prouver par absurde que lim Un=+infini (j'ai une idée mais je sais pas si c'est correct ou non; on vas supposer que limUn=-infini et puis supposer que Un n'a pas de limite puis supposer que (Un) a une limite finie , donc je me bloque ici , je ne sais est ce que je vais monter pour tous cela ou bien seulement un seul cas )
Merciii d'avance!!!!

Bonjour Mathématicienne,

Comme $U n$ > 0 suppose que la suite tend vers une limite finie $x$ et en utilisant la relation de la question 1, montre que c'est impossible.

@noemi j'ai trouvé les solutions.
Merciii

C'est bien. A+

Bonjour Mathématicienne, Noemi,

C'est très bien Mathématicienne d'avoir trouvé seule.

Cet exercice est intéressant.
J'explicite quelques bribes de la solution, pour le cas où il y aurait des lecteurs qui consulteraient la discussion et qui ne l'auraient pas trouvée,

Quelques pistes,

1) $2 n = n + n$

$U2n=(1+...+1n)+(1n+1+...+1n+n)U_{2n}=\biggl(1+...+\frac{1}{n}\biggl)+\biggl(\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{n+n}\biggl)$

$U2n=Un+(1n+1+...+12n)U_{2n}=U_n+\biggl(\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}\biggl)$

Or,
$1n+1≥12n\frac{1}{n+1} \ge \frac{1}{2n}$
$1n+1≥12n\frac{1}{n+1} \ge \frac{1}{2n}$
...
$1n+n≥12n\frac{1}{n+n} \ge \frac{1}{2n}$
Donc
$(1n+1+...+12n)≥n(12n)(\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}) \ge n(\frac{1}{2n)}$
$(1n+1+...+12n)≥12(\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}) \ge \frac{1}{2}$
Conclusion
$U2n≥Un+12\boxed{U_{2n}\ge U_n+\frac{1}{2}}$

2) $Un+1−Un=1n+1U_{n+1}-U_n=\frac{1}{n+1}$ d'ou conclusion immédiate.

3)Raisonnement par l'absurde.

Supposons que ( $U_n)$ converge vers une limite finie l (forcément positive car suite à termes strictement positifs)
$lim⁡n→+∞Un=l\displaystyle \lim_{n\to +\infty}U_n=l$
$lim⁡n→+∞U2n=l\displaystyle \lim_{n\to +\infty}U_{2n}=l$
En utilisant la propriété démontrée au 1), par passage à la limite : $l≥l+12l\ge l+\frac{1}{2}$
Cela équivaut à : $l−l≥12l-l\ge \frac{1}{2}$ <= > $\ge \frac{1}{2}$ Impossible.

Conclusion : $U_n)$ est une suite à termes strictement positifs, strictement croissante, non convergente, donc elle diverge vers $+∞+\infty$
$lim⁡n→+∞Un=+∞\boxed{\displaystyle \lim_{n\to +\infty}U_n=+\infty}$