Suite numérique , calcul de limite

Bonjour,
Montrer que (Un) est convergente et calculer sa limite.
Un= 1/n+1 +1/n+2 +1/n+3 +.... +1/2n
J'ai démontré que (Un) est convergente il reste la limite
Merci !

Bonjour Mamadou-Saliou

Mettre $1n\dfrac{1}{n}$ en facteur $Un=1n∑x=1n11+xnU_n=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{x=1}^{n} \dfrac{1}{1+\dfrac{x}{n}}$

en passant à la limite en posant $\dfrac{x}{n}$
il reste à calculer l'intégrale :
$∫01dX1+X\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{dX}{1+X}$
qui donne pour résultat ln2

Bonsoir,

Seulement une piste vu l'heure tardive.

Tu peux éventuellement faire apparaître l'interprétation d'une intégrale

$Un=∑r=1r=n1n+r=∑r=1r=n1n1+rn=1n∑r=1r=n11+rn\displaystyle U_n=\sum _{r=1}^{r=n}\dfrac{1}{n+r}=\sum _{r=1}^{r=n}\dfrac{\frac{1}{n}}{1+\frac{r}{n}}=\frac{1}{n}\sum _{r=1}^{r=n}\dfrac{1}{1+\frac{r}{n}}$

Tu peux interpréter la limite de Un comme l'intégrale de $11+x\dfrac{1}{1+x}$ avec des bornes adaptées que je te laisse trouver;

Sauf erreur, la limite est ln2

Reposte si besoin

Bonsoir Noemi, je n'avais pas vu ta réponse...

Tu en as dit un peu plus que moi car je laissais Mamadou Saliou chercher les bornes...

On n'a pas fait intégrale

@mamadou-saliou,

L'énoncé de exercice comprend cette seule question ou y avait il des questions avant ?
Par exemple démontrer la relation : $1n+1\dfrac{1}{n+1}$ < $ln⁡n+1n\ln\dfrac{n+1}{n}$ < $1n\dfrac {1}{n}$

Bonjour Mamadou Saliou et Noemi,

@Mamadou-Saliou
Lorsque tu bloques sur une question d'un exercice , il faut que tu donnes les questions précédentes (que tu as traitées) ,car il y a en général un enchaînement logique qui permet de passer d'une question à la suivante.
Sans cet enchaînement logique, on ne peut pas savoir dans quel esprit est demandé l'exercice.

Noemi et moi t'avons donné une méthode directe avec une somme de Reimann. Cela t'aurait permis de trouver la limite cherchée très rapidement par calcul intégral simple. Cela répondait exactement à la question isolée que tu posais. Visiblement, tu ne connais pas.

Sur un manuel de TS, j'ai trouvé un énoncé que je tape (à tout hasard...)
J'ignore s'il te convient, mais pourquoi pas...

Soit U(n) la suite définie sur N* :

$\fbox{U(n)=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+....+\dfrac{1}{2n}}$

démontrer que pour tout n de N* $U(n+1)−U(n)=12(n+1)(2n+1)U(n+1)-U(n)=\dfrac{1}{2(n+1)(2n+1)}$

2)a) démontrer que pour tout réel x > 0 , $−1x≤lnx≤x−1-\frac{1}{x} \le lnx \le x-1$
Indication : étudier les variations sur $[0.+∞[[0.+\infty[$ des deux fonctions f et g définies par f(x)=lnx-(1-1/x) et g(x)=lnx-(x-1)

2)b) en déduire que pour tout entier p : $1p+1≤ln(p+1p)≤1p\dfrac{1}{p+1} \le ln(\dfrac{p+1}{p}) \le\dfrac{1}{p}$

n étant un entier naturel non nul
a)écrire l'encadrement précédent en donnant successivement à p les valeurs n,n+1,n+2,...,et 2n-1

b) en effectuant les sommes membre à membre des inégalités obtenues démontrer que $U(n)≤ln2≤U(n)+1/nU(n)\le ln2 \le U(n)+1/n$

prouver alors que la suite U(n) converge vers ln2

CONCLUSION :
Tu donnes un énoncé entier (si tu l'as), sinon, tu peux chercher la solution avec l'énoncé joint ou un autre bien sûr...

L'énoncé ne comporte que ses deux questions. C'est un devoir à faire à la maison

@mamadou-saliou,

As tu vu la fonction logarithme népérien et ses propriétés ?

Oui on a fait toute les propriétés du logarithme népérien

Dans ce cas, Mamadou Saliou, lance toi dans les dernières démonstrations proposées par Noemi et/ou moi-même.