Famille de fonctions dépendant d'un paramètre n
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CCLOCLO VIDA dernière édition par mtschoon
Bonjour,
J'ai un DM maison à faire pour jeudi et je ne vois pas comment faire pour montrer que pour tout entier naturel n non nul, on obient
fn′(x)=−nfn(x)−e−nx(1+x)2f_n'(x)=-nf_n(x)-\dfrac{e^{-nx}}{(1+x)^2}fn′(x)=−nfn(x)−(1+x)2e−nx sachant que fn(x)=e−nx1+xf_n(x)=\dfrac{e^{-nx}}{1+x}fn(x)=1+xe−nx et que dans l'énoncé, on nous a donné I(n)=∫01e−nx1+xdx\displaystyle I(n)=\int_0^1\dfrac{e^{-nx}}{1+x}dxI(n)=∫011+xe−nxdx et J(n)=∫01e−nx(1+x)2dx\displaystyle J(n)=\int_0^1\dfrac{e^{-nx}}{(1+x)^2}dxJ(n)=∫01(1+x)2e−nxdxMerci d'avance pour votre aide.
(Formules écrites en Latex par la modération)
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Bonsoir CLOCLO-VIDA,
La dérivée de fn(x)=e−nx1+xf_n(x)=\dfrac{e^{-nx}}{1+x}fn(x)=1+xe−nx forme UV\dfrac{U}{V}VU est
fn′(x)=−ne−nx(1+x)−e−nx(1+x)2f'_n(x)= \dfrac{-ne^{-nx}(1+x)-e^{-nx}}{(1+x)^2}fn′(x)=(1+x)2−ne−nx(1+x)−e−nx =
fn′(x)=−ne−nx(1+x)−e−nx(1+x)2f'_n(x)=-n\dfrac{e^{-nx}}{(1+x)} -\dfrac{e^{-nx}}{(1+x)^2}fn′(x)=−n(1+x)e−nx−(1+x)2e−nx=
......
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CCLOCLO VIDA dernière édition par
Bonsoir Noemi,
Je suis un peu bloquée après votre aide puisque la suite de la question est d'en déduire que, pour tout entier naturel n supérieur ou égale à 1 : In = (1/n)(1-(e^-n/2)-Jn). J'ai donc réutilisé la dérivée fn'(x) supérieur ou égale à 1. J'en ai pu déduire que cela faisait -nIn(x)-Jn supérieur ou égale à 1. Ensuite, grâce à l'intégrale de 1 à 0 de In(x) , j'ai trouvé que cela faisait (-e^-n/2)+1. J'ai donc remplacé In par cette valeur, toujours supérieur ou égale à 1. Mais le problème est juste après puisque je trouve (-1/n)(1-(e^-n/2)-Jn) supérieur ou égale à 1 mais pas la réponse attendu qui est In = (1/n)(1-(e^-n/2)-Jn). Le problème c'est que je ne trouve pas mon erreur.
Merci d'avance pour votre aide.
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@cloclo-vida
A partir de : fn′(x)=−nfn(x)−e−nx(1+x)2f'_n(x)=-nfn(x) -\dfrac{e^{-nx}}{(1+x)^2}fn′(x)=−nfn(x)−(1+x)2e−nx
soit :
fn(x)=−1nf′n(x)−e−nxn(1+x)2f_n(x)=-\dfrac{1}{n}f'n(x) -\dfrac{e^{-nx}}{n(1+x)^2}fn(x)=−n1f′n(x)−n(1+x)2e−nx
tu passes au calcul intégral :
I(n)=∫01e−nx1+xdx=∫01fn(x)dx\displaystyle I(n)=\int_0^1\dfrac{e^{-nx}}{1+x}dx= \int_0^1 f_n(x)dxI(n)=∫011+xe−nxdx=∫01fn(x)dxI(n)=−1n[fn(x)]01 −1nJ(n)\displaystyle I(n)=-\dfrac{1}{n}[f_n(x)]_0^1\ -\dfrac{1}{n} J(n)I(n)=−n1[fn(x)]01 −n1J(n) = ....
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CCLOCLO VIDA dernière édition par
Bonsoir Noemi,
Est-ce que le résultat est (-1/n)((-e^-n/2)+1-(e^-nx/(1+x)^2)) supérieur ou égale à 1.
Merci d'avance pour votre aide.
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I(n)=−1n[fn(x)]01 −1nJ(n)\displaystyle I(n)=-\dfrac{1}{n}[f_n(x)]_0^1\ -\dfrac{1}{n} J(n)I(n)=−n1[fn(x)]01 −n1J(n) =
I(n)=−1n(e−n2−1)−1nJ(n)\displaystyle I(n)=-\dfrac{1}{n}(\dfrac{e^{-n}}{2}-1) -\dfrac{1}{n} J(n)I(n)=−n1(2e−n−1)−n1J(n) = ....
I(n)=1n(1−e−n2−J(n))\displaystyle I(n)=\dfrac{1}{n}(1-\dfrac{e^{-n}}{2}-J(n))I(n)=n1(1−2e−n−J(n))