Déduction et calcule de limite

Re : Calcul de Limite et déterminer les dérivés
pouvez-vous m'aider a cette exercice

calculer $lim⁡x→0(ax+1)2)−1x\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{(ax+1)^2)-1}{x}$

2)montrer que $lim⁡x→0((ax+1)n)−1x=na\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{((ax+1)^n)-1}{x}=na$

déduire $lim⁡x→1(6x+1)167+(15x−1)67x\displaystyle \lim_{x\to 1}\dfrac{(6x+1){167}+(15x-1)^{67}}{x}$

(Formules Latex reécrites par la modération)

Bonjour hafud,

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.
1 Développe et mets $x$ en facteur.

@Noemi les deux dernières questions

Pour le 2)
Si on développe le terme avec la puissance n, le dernier terme est égal à 1 et l'avant dernier est nax donc .....

@Noemi j'ai pas bien compris

@hafud

$ax+1)^2= a^2x^2 + 2 ax + 1$ les deux derniers termes sont 2ax + 1
$(ax+1)^3) = a^3x^3 +3a^2x^2+3ax+1 les deux derniers termes 3ax+1
...
$(ax+1)^n = ... + nax + 1 tu peux éventuellement complété les pointillés.
Le 1 se simplifie avec le -1
Comme on divise par x, le seul terme qui ne contient pas x est na, tous les autres termes s'annulent quand x tend vers 0.

Pour la dernière question, l'énoncé est-il correct (15x-1) ? et x qui tend vers 1 ?

@Noemi oui c'est vrai

@hafud,
Si $x$ tend vers 1, il n'y a pas de difficultés, tu remplaces $x$ par 1.

@Noemi mais c'est déduire càd à partir du question précédente

@Noemi a dit dans Déduction et calcule de limite :

@hafud

$ax+1)^2= a^2x^2 + 2 ax + 1$ les deux derniers termes sont 2ax + 1
$(ax+1)^3) = a^3x^3 +3a^2x^2+3ax+1 les deux derniers termes 3ax+1
...
$(ax+1)^n = ... + nax + 1 tu peux éventuellement complété les pointillés.
Le 1 se simplifie avec le -1
Comme on divise par x, le seul terme qui ne contient pas x est na, tous les autres termes s'annulent quand x tend vers 0.

Pour la dernière question, l'énoncé est-il correct (15x-1) ? et x qui tend vers 1 ?

J'avais quelque problème a l'écriture ici

Il n'y a pas $(x - 1)$ au dénominateur ?

Précise l'indication "Problème à l'écriture" ?

@Noemi a dit dans Déduction et calcule de limite :

Il n'y a pas $(x - 1)$ au dénominateur ?

Précise l'indication "Problème à l'écriture" ?

Qu'on vous avez écrit la méthode

@hafud

Précise la ligne que tu ne comprends pas.

@Noemi $(ax+1)^n = ... + nax + 1 tu peux éventuellement complété les pointillés.
Le 1 se simplifie avec le -1
Comme on divise par x, le seul terme qui ne contient pas x est na, tous les autres termes s'annulent quand x tend vers 0.

@hafud

$ax+1)^n = (ax)^n+n(ax)^{n-1} + ... + nax + 1$
et $ax+1)^n - 1 = (ax)^n+n(ax)^{n-1} + ... + nax$
Si on divise par $x$ le seul terme qui n'a plus de $x$ et le dernier qui est égal à $n a$ .

@Noemi oui et pour la deuxième question

@hafud,

Pour la dernière question, je modifierai l'énoncé :
$lim⁡x→0(6x+1)167−(15x+1)67x\lim_{x\to0} \dfrac {(6x+1)^{167}-(15x+1)^{67}}{x}$
cela donne $167×6−15×67167\times6 - 15\times67$ = ...

Ou alors un changement de variable avec X = x-1, soit x = X + 1

@Noemi si on a utilisé changement de variable pouvez me donner la méthode

@hafud,

Le changement de variable ne permet pas d'utiliser la relation donnée.
$6 x + 1$ devient $6 X + 7$

@Noemi ah oui mrc

@Noemi Bonjour ici on va montrer avec récurrence 2)montrer que $lim⁡x→0((ax+1)n)−1x=na\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{((ax+1)^n)-1}{x}=na$

@hafud

C'est une question de l'exercice de démontrer par récurrence ?

@Noemi oui

@hafud

Donc applique la méthode du raisonnement par récurrence de ton cours.
Indique la méthode du cours et tes résultats.

@Noemi pour $n = 1$
$lim((ax+1)^n-1)/x=lim(ax+1)-1)/x=lim(ax/x)=a$
Mais comment on trouve $n a$
Supposant qu'il est vrai pour $n = 1$ et montrons que $lim(ax+1)(^n+1)-1)/x=na$
Mais comment

@hafud
Tu décomposes $(ax+1)n+1−1=(ax+1)n−1+(ax+1)n×ax(ax+1)^{n+1}-1 = (ax+1)^n - 1 + (ax+1)^n \times ax$
et tu calcules la limite.

@Noemi na comment faire

@hafud

Précise ta question.
Tu utilises le fait que tu connais la limite à l'ordre n.
Il reste à calculer la limite de : $a(ax+1)^n$ quand $x$ tend vers 0.

@Noemi je ne peux pas faire parceque je ne comprends pas

@hafud,

Il suffit de remplacer $x$ par 0.
$a(0+1)^n= .....$

@Noemi ah oui

@hafud

Donc comment as tu écrit la résolution ?

@Noemi je n'arrive pas a resoudre avec n+1 aidez moi

@hafud
C'est quelle question ?

@Noemi 1er en recurrence

@hafud

La démarche est donnée dans les posts précédents.

@Noemi excuse moi j'ai pas vu