Exercice dérivabilité de Dm (fonction trigonométrique)

Bonjour pouvez-vous m'aider à cette exercice
Considérons la fonction $f¢ défini par
$f(x)=(cos x+sin x)^3$

calculer la dérivée $f^{'} (x)$
écrire l'équation de la tangente de $(C f)$ en $0$
calculer $lim((cos x+sin x)^3)-1)/x$ en $0$
calculer $lim (x^2(15x-14)^5-1)/(x-1)$ en $1$ et
$lim(x^n sin a - a^n sin x)/(x-a)$ en $a$

hafud bonjour,

Piste pour démarrer,

Regarde ton cours.
Lorsque $f(x)=(U(x))3f(x)=\biggl(U(x)\biggl)^3$ , alors :
$f′(x)=3(U(x))2×U′(x)f'(x)=3\biggl(U(x)\biggl)^2\times U'(x)$

Tu poses $U (x) = c o s x + s i n x$ et tu appliques la formule indiquée.

Donne ta réponse si tu as besoin d'une vérification.

@mtschoon $f'(x)=3(cos x+sin x)^2(-sin x+cos x)$

C'est bon.
Passe à la question 2)
Dans ton cours, tu as forcément la formule donnant l'équation d'une tangente

@mtschoon oui attendez

@mtschoon est ce que
$3(cos x+sin x)^2(-sin x+cos x).x+1$

Non.

On croirait que tu n'as pas de cours...

Equation de la tangente (T) à la courbe d'équation y=f(x) au point d'abscisse a :
$y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$

@mtschoon oui c'est ça ce que je fait j'ai déjà calculer $f'(x)=3(cos x +sin x)^2(x-0)+ cos 1 +sin 1$ qui est également a $1$

Je t'ai donné la formule à appliquer.

Si tu la comprends(?) , ici a=0 vu qu'il s'agit de la tangente au point d'abscisse 0.

Alors, prends tout le temps qu'il te faut, mais trouve cette équation.
Vu que c'est une droite , tu dois trouver une équation de la forme y=Ax+ B

@mtschoon est ce que c'est $y = x + 1$

Non. Recompte.
C'est dans f'(0) que tu as dû faire une erreur.

@mtschoon ah oui $y = 3 x + 1$ est ce juste

Oui ! c'est bon.

Bien l'autre question limite en 0

@mtschoon multiplie par x/x

Non !

Prends le temps de réfléchir et tu verras que cette expression, a pour limite un nombre dérivé (comme dans les précédents exercices).

@mtschoon on peut développer et factoriser par x

@mtschoon j'arrive pas au réponse

@hafud

Cà ne te servira pas à grand-chose si je t'indique la marche à suivre, alors qu'elle a déjà été vu dans l'exercice précédent...

Dans cette question , c'est d'ailleurs plus facile car il n'y a rien à faire, sauf à reconnaître.

Essaie de trouver, sinon bien sûr, je te donnerai la réponse !

@mtschoon j'ai essayé mais rien

@hafud

Pense à $f(x)−f(0)x−0\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}$ qui a pour limite $f^{'} (0)$ lorsque x tend vers 0

@mtschoon 3

Oui. 3 est la bonne valeur pour la limite.

Tu peux passer à la question 4)
(Toujours la même idée)

@mtschoon $f (x) - f (1) / (x - 1)$ pour la première ???

Oui, c'est bien ça,

Alors, il te reste à calculer f'(x) en appelant $f(x)=x^2(15x-14)^5$
puis en déduire f'(1) qui sera la limite cherchée.

@mtschoon et pour la deuxième

@hafud
Il faut faire les choses dans l'ordre !

Commence par indiquer ce que tu as obtenu pour la première limite.

Ensuite, il faudra que tu trouves,vu que tu as fait plusieurs exercices du même type, comment transformer la seconde expression pour que la limite puisse être faite avec des nombres dérivés.

@mtschoon $f'(x)=x(15x-14)^4(75x+2(15x-14))$

C'est bon.
Indique la limite.

@mtschoon il sera très grande

@hafud 19712

J'espère que c'est f'(1) que tu comptes...
Recompte, car c'est faux.
Tu peux trouver la réponse pratiquement "à l'oeil nu".

@mtschoon comment

Bonjour hafud,

Suis les conseils de mtschoon, calcule $f^{'} (x)$ si $x = 1$ soit $f^{'} (1) = . . . . .$

@hafud

Je t'ai déjà indiqué :
J'espère que c'est f'(1) que tu comptes...
Recompte, car c'est faux.
Tu peux trouver la réponse pratiquement "à l'oeil nu".

L'expression que tu as donné pour f'(x) est exacte.
Alors, combien vaut f'(1) ?

@mtschoon f'(1)=77

OUI !
Tu vas pouvoir passer à la dernière question( limite lorsque x tend vers a )

@mtschoon et pour l'autre f(x)-f(a)/x-a

C'est un peu ça mais pas tout à fait !

Réfléchis à ce qu'il faut modifier (ajouter et retrancher) pour faire apparaître deux quotients dont les limites seront des nombres dérivés.

@mtschoon pouvez vous me donner une piste pour la suivi

Je viens de te donner la piste.
Prends le temps de chercher...

@mtschoon on peut utiliser sin x et sin a

Un complément,

Au numérateur de l'expression donnée, tu ajoutes et retranches $a^nsina$
Ensuite, tu factorises judicieusement le nouveau numérateur.
En divisant par (x-a) tu feras ainsi apparaître deux quotients ayant pour limites des nombres dérivés à déterminer.

@mtschoon $x^n sin a -a^n sin x/x-a$

@hafud

Mais...tu n'as rien fait, sauf recopier l'énoncé.

Relis ma dernière réponse.

@hafud c'est ça qu'il me donne

Il faut transformer pour aboutir comme je te l'ai déjà indiqué et comment cela a été fait des exercices précédents ...

Il faut avoir un peu d'astuce !

$x^nsina-a^nsinx=x^nsina-a^nsina+a^nsina-a^nsinx$
donc
$x^nsina-a^nsinx=sina(x^n-a^n)-a^n(sinx-sina)$

Continue.

@mtschoon donc on prend $f^{'} (s i n a) - f^{'} (a) / s i n a - a$

@hafud
Non...et tu n'indiques pas ce qu'est la fonction f dont tu parles

$xnsina−ansinxx−a=sina(xn−anx−a)−an(sinx−sinax−a)\dfrac{x^nsina-a^nsinx}{x-a}=sina\biggl(\dfrac{x^n-a^n}{x-a} \biggl) -a^n\biggl(\dfrac{sinx-sina}{x-a}\biggl)$

Tu poses $f(x)=x^n$ et $g (x) = s i n x$

Continue.

@mtschoon et je sais pas comment

$lim⁡x→axn−xax−a=lim⁡x→af(x)−f(a)x−a=f′(a)\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{x^n-x^a}{x-a}=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)$

Tu calcules $f^{'} (x)$ puis en remplaçant x par a dans $f^{'} (x)$ , tu obtiens $f^{'} (a)$

Même principe pour g.

@mtschoon f'(x)=na et f'(0)=0

Ta réponse n'a pas aucun sens !

$f(x)=x^n$

$f'(x)=nx^{n-1}$

$f'(a)=na^{n-1}$

@mtschoon d'où la limite est $sin a.na^n-1-a^n cos a$

@hafud ,

Ce doit être ça mais je pense que le "n-1" est mal écrit.

Limite :
$sina)na^{n-1}-a^n(cosa)$

@mtschoon merci pour votre aide pour cette exercice