Besoin d'explications sur un problème déjà résolu



  • Bonjour 🙂

    Je suis en train de plancher sur un exercice qui a déjà précédemment été résolu sur ce forum à cette adresse: Complexes. équation du 4ème degré.
    Cependant j'aurai aimé avoir plus de détails sur le passage de Z²+5z-6 = 0 à z⁴+5z³-4z²+5z+1=0 dans la 2ème partie de l'exercice.

    Si quelqu'un pouvait m'expliquer ce qu'il se passe entre les deux équation suivantes je lui en serai très reconnaissant.

    z²+2+1/z² + 5z+5/z-6=0 ⇔ (z⁴/z²)+(5z³/z²)-(4z²/z²)+(5z/z)+1/z=0

    Merci d'avance !


  • Modérateurs

    @Ceans , bonjour,

    Je regarde le topic dont tu parles.

    Il s'agit du changement d'inconnue Z=z+1zZ=z+\dfrac{1}{z}



  • @mtschoon Salut, excuse-moi mais je n'ai pas bien compris ta réponse.
    Je crois que dans les équations dont je parle le grand Z est déjà transformé dans son équivalence z+(1/z). Ce que je cherche à comprendre c'est plutôt pourquoi les divisions Sur z et z^2 arrivent.

    Merci.


  • Modérateurs

    Bonjour Ceans,

    Dans l'équation Z2+5Z6=0Z^2+5Z-6=0, on remplace ZZ par z+1zz+\dfrac{1}{z}
    Tu multiplies ensuite cette équation par z2z^2 pour obtenir l'équation recherchée.


  • Modérateurs

    Bonjour @Noemi et bonjour @Ceans ,

    @Ceans ,

    Je te détaille le calcul si besoin,

    Z2+5Z6=0\fbox{Z^2+5Z-6=0}

    Avec le changement d'inconnue :

    (z+1z)2+5(z+1z)6=0\biggl(z+\dfrac{1}{z}\biggl)^2+5\biggl(z+\dfrac{1}{z}\biggl)-6=0

    En développant
    (avec l'identité remarquable (a+b)²=a²+b²+2ab)

    z2+1z2+2+5z+5z6=0z^2+\dfrac{1}{z^2}+2+5z+\dfrac{5}{z}-6=0

    En multipliant par z²

    z4+1+2z2+5z3+5z6z2=0z^4+1+2z^2+5z^3+5z-6z^2=0

    En regroupant les termes
    z4+5z34z2+1=0\fbox{z^4+5z^3-4z^2+1=0}

    Refait cela seul(e)

    Bon travail !



  • Merci à tous !



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