Besoin d'explications sur un problème déjà résolu

Bonjour

Je suis en train de plancher sur un exercice qui a déjà précédemment été résolu sur ce forum à cette adresse: Complexes. équation du 4ème degré.
Cependant j'aurai aimé avoir plus de détails sur le passage de Z²+5z-6 = 0 à z⁴+5z³-4z²+5z+1=0 dans la 2ème partie de l'exercice.

Si quelqu'un pouvait m'expliquer ce qu'il se passe entre les deux équation suivantes je lui en serai très reconnaissant.

z²+2+1/z² + 5z+5/z-6=0 ⇔ (z⁴/z²)+(5z³/z²)-(4z²/z²)+(5z/z)+1/z=0

Merci d'avance !

@Ceans , bonjour,

Je regarde le topic dont tu parles.

Il s'agit du changement d'inconnue $Z=z+1zZ=z+\dfrac{1}{z}$

@mtschoon Salut, excuse-moi mais je n'ai pas bien compris ta réponse.
Je crois que dans les équations dont je parle le grand Z est déjà transformé dans son équivalence z+(1/z). Ce que je cherche à comprendre c'est plutôt pourquoi les divisions Sur z et z^2 arrivent.

Merci.

Bonjour Ceans,

Dans l'équation $Z^2+5Z-6=0$ , on remplace $Z$ par $z+1zz+\dfrac{1}{z}$
Tu multiplies ensuite cette équation par $z^2$ pour obtenir l'équation recherchée.

Bonjour @Noemi et bonjour @Ceans ,

@Ceans ,

Je te détaille le calcul si besoin,

$Z^2+5Z-6=0$

Avec le changement d'inconnue :

$(z+1z)2+5(z+1z)−6=0\biggl(z+\dfrac{1}{z}\biggl)^2+5\biggl(z+\dfrac{1}{z}\biggl)-6=0$

En développant
(avec l'identité remarquable (a+b)²=a²+b²+2ab)

$z2+1z2+2+5z+5z−6=0z^2+\dfrac{1}{z^2}+2+5z+\dfrac{5}{z}-6=0$

En multipliant par z²

$z^4+1+2z^2+5z^3+5z-6z^2=0$

En regroupant les termes
$z4+5z3−4z2+1=0\boxed {z^4+5z^3-4z^2+1=0}$

Refait cela seul(e)

Bon travail !

Merci à tous !