trigonométrie inéquation


  • B

    Bonjour,
    j'ai l'inéquation suivante à résoudre :
    2(sinx)^2-3sinx +1<0 dans l'intervalle ]-pi, pi]

    J'ai remplacé sinx par X
    J'ai résolu l'équation 2X^2 -3X +1 =0
    J'ai trouvé X=1/2 ou X=1
    Je suis revenue sur sinx
    J'ai trouvé x=pi/6 ou x=5pi/6 ou x=0

    Comment dois je faire maintenant pour trouver le signe de l'inéquation ?


  • mtschoon

    @blandine bonjour,

    Tout d'abord, vérifie ta réponse à l'équation
    x=0 correspond à cosx=1
    Tu as dû confondre sinx et cosx
    sinx =1 correspond à x=π2x=\dfrac{\pi}{2}x=2π

    Pour l'inéquation, il y a plusieurs méthodes (plus ou moins rapides...)

    Je t'en indique une : par factorisation

    En utilisant la factorisation d'un polynôme du second degré dont on connait les deux racines :

    2X2−3X+1=2(X−1)(X−12)2X^2-3X+1=2\biggl(X-1\biggl)\biggl(X-\dfrac{1}{2}\biggl)2X23X+1=2(X1)(X21)

    En posant X=sinx

    2(sinx)2−3(sinx)+1=2((sinx)−1)((sinx)−12)2(sinx)^2-3(sinx)+1=2\biggl((sinx)-1\biggl)\biggl((sinx)-\dfrac{1}{2}\biggl)2(sinx)23(sinx)+1=2((sinx)1)((sinx)21)

    L'inéquation à résoudre peut donc s'écrire :
    2((sinx)−1)((sinx)−12)≤02\biggl((sinx)-1\biggl)\biggl((sinx)-\dfrac{1}{2}\biggl)\le 02((sinx)1)((sinx)21)0
    c'est à dire (vu que 2 est positif)
    ((sinx)−1)((sinx)−12)≤0\biggl((sinx)-1\biggl)\biggl((sinx)-\dfrac{1}{2}\biggl)\le 0((sinx)1)((sinx)21)0

    Tu fait un tableau de signes :
    Une ligne pour x (entre −π-\piπ et +π+\pi+π)
    Une ligne pour ((sinx)−1)\biggl((sinx)-1\biggl)((sinx)1) (signe lu sur le cercle trigonométrique)
    Une ligne pour ((sinx)−12)\biggl((sinx)-\dfrac{1}{2}\biggl)((sinx)21) (signe lu sur le cercle trigonométrique)
    Une ligne pour le produit.

    Tu pourras ainsi répondre à la question posée.

    Donne ta réponse si tu as besoin d'une vérification.


  • N
    Modérateurs

    Bonjour mtschoon et blandine,

    Autre méthode à partir des résultats de blandine,
    Tu as résolu l'équation. Tu cherches dans quel domaine le polynôme est négatif soit l'intervalle ]12;1[]\dfrac{1}{2} ; 1[]21;1[.
    Il reste à résoudre 12<sinx<1\dfrac{1}{2} \lt sin x \lt 121<sinx<1
    Tu utilises le cercle trigonométrique et la même démarche que pour l'autre exercice.


  • B

    Merci beaucoup à tous deux,
    j'ai parfaitement compris et ai trouvé
    S=]pi/6, pi/2[u]pi/2;5pi/6[
    Merci encore !!!


  • B

    Merci beaucoup à tous deux,
    j'ai parfaitement compris et ai trouvé
    S=]pi/6, pi/2[u]pi/2;5pi/6[
    Merci encore !!!


  • mtschoon

    @blandine ,

    Tu as très bien compris et ta réponse est la bonne ☺ !


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