arbre et arrangement

Bonjour

Une urne contient 4 boules rouges, 2 boules blanches et 3 boules vertes.
On tire successivement et avec remise une première boule en notant sa couleur puis une deuxième boule
Calculer la probabilité de deux boules de même couleur.

Avec un arbre:
J'ai fais un arbre et je trouve: p(2 boules même couleur)=(4²+2²+3²)9² = 29/81

Avec les arrangements:
p(2 boules même couleur)=( A(4;2) + A(2;2) + A(3;2)/( A(9,2) = 5/18.

Sûrement j'ai fait une erreur ou un faux raisonnement !

Merci pour des réponses.

Bonjour kadforu,

Le résultat est correct avec l'arbre.

Avec les arrangements, tu n'as pas tenu compte que le tirage et avec remise.

Je n'ai pas compris ta réponse.

A(9,2) c'est bien choisir 2 parmi 9 ? 9 est bien le total des boules ?

A(9,2) est un arrangement, c'est le nombre de façon de disposer 2 boules parmi 9, donc des que la première est choisie on ne peut pas la reprendre.
Or tu es dans le cas d'un tirage avec remise.

Noemi, excuses moi mais je ne comprends pas ceci:

donc des que la première est choisie on ne peut pas la reprendre.

C'est mon erreur ?

@kadforu bonjour,

Je te réponds en attendant que @Noemi soit là.

Oui, c'est bien là ton erreur.

Il aurait fallu prendre les arrangements si la question avait été :
"On tire successivement et sans remise une première boule en notant sa couleur puis une deuxième boule
Calculer la probabilité de deux boules de même couleur."

Donc avec remise on ne peut pas le faire avec les arrangements ? Si j'ai bien compris ta répnose ?

@kadforu

Tout à fait .

Avec remise, on ne peut pas faire avec les arrangements.

Donc la seule solution c'est l'arbre.

Si tu veux...
Mais l'arbre n'est pas, à proprement parlé, une solution.
C'est une aide très appréciable au raisonnement en probabilités.

Si tu voulais écrire une formule, tu pourrais dire:
Si l'on tire k boules successivement avec remise dans une urne contenant n boules, il y a : $n^{k}$ résultats possibles.
(J'ignore si cela fait partie de ton cours)

Ici k=2

En détaillant, tu trouverais ainsi $42+22+3292\dfrac{4^2+2^2+3^2}{9^2}$

Oui, je vois maintenant.

Choisir la première boule parmi 9: 9 choix
Avec remise choisir la deuxième boule parmi 9: 9 choix
Donc card(univers)=9²

Choisir la première boule rouge parmi 4 rouges: 4 choix
Avec remise choisir la deuxième boule rouge parmi 4 rouges: 4 choix
ce qui fait 4² choix (principe multiplicatif )
Idem pour deux blanches, deux vertes

Donc P(deux boules même couleur) = (4²+2²+3²)/(9²)

Je crois que dans les anciens programmes on appelait ça des p-listes si je me souviens bien .

@kadforu ,

C'est tout à fait ça, et il s'agit bien de p-listes (anciens programmes).

Merci pour tout!

De rien @kadforu et bonne soirée