Exercice valeur absolue



  • Bonjour, j'ai un problème sur un exercice.
    On me dit que Un+1−1=1−UnUn+1U_{n+1} -1= \dfrac{1- U_n}{ U_n+ 1}Un+11=Un+11Un
    Et nous devons déduire que
    ∣Un+1−1∣≤∣Un−1∣|U{n+1} -1| \le |U_n - 1|Un+11Un1

    J'ai essayé plusieurs pistes mais rien ne donne, j'ai essayé de réduire la valeur absolue mais je ne trouve rien..

    Merci.

    (formules re-écrites en Latex par la modération)


  • Modérateurs

    Bonsoir Constance,

    Aucune autre indication sur la suite UnU_nUn ?
    L'énoncé est complet ?



  • @Noemi et @Constance bonjour,

    Constance, comme te l'a dit Noemi, on ne peut pas répondre aux questions que tu poses, vu la façon dont tu les poses...

    Visiblement, tes deux questions (deux topics ouverts ) sont relatives au même problème.
    Il faut connaître les données exactes et les questions préalablement traitées pour pouvoir t'aider.

    Surtout en Terminale, tout problème bien construit est composé de questions qui s'enchaînent souvent pour aboutir à la conclusion finale

    La propriété ∣Un+1−1∣≤23∣Un−1∣|U_{n+1}-1| \le \dfrac{2}{3}|U_n-1|Un+1132Un1 permet de trouver une inégalité du type
    0≤∣Un−1∣≤(23)n∣U0−1∣0\le |U_n-1|\le \biggl(\dfrac{2}{3}\biggl)^n|U_0-1|0Un1(32)nU01
    (On ne sait pas la valeur du premier terme de la suite...)

    Idée pour l'explication :
    0≤∣Un−1∣≤23∣Un−1−1∣≤(23)2∣Un−2−1∣≤(23)3∣Un−3−1∣≤...≤(23)n∣U0−1∣0\le |U_n-1|\le \dfrac{2}{3}|U_{n-1}-1|\le\biggl (\dfrac{2}{3}\biggl)^2|U_{n-2}-1|\le\biggl (\dfrac{2}{3}\biggl)^3|U_{n-3}-1| \le ...\le \biggl(\dfrac{2}{3}\biggl)^n|U_0-1|0Un132Un11(32)2Un21(32)3Un31...(32)nU01

    Ainsi, lorsque n tend vers +∞+\infty+, (23)n\biggl(\dfrac{2}{3}\biggl)^n(32)n tend vers 0 donc Un−1U_n-1Un1 tend vers 0 (par encadrement) donc UnU_nUn tend vers 1
    La suite (Un)(U_n)(Un) converge vers 1

    Cela doit être ça le but de l'exercice, mais il faut l'énoncé complet pour apporter notre aide.



  • @mtschoon U(0)= 1÷2 pardon
    Donc je remplace les n ?



  • @Constance effectivement j'ai fait une erreur sur les l'énoncé...
    C'est plutôt, montrer que pour tout n appartenant N, ..., En déduire que, ..



  • @Constance ,

    Merci d'avoir indiqué le premier terme U0=12U_0=\dfrac{1}{2}U0=21
    Je suppose qu'il est indiqué quelque part que : Un+1=21+UnU_{n+1}=\dfrac{2}{1+U_n}Un+1=1+Un2
    On peut justifier aisément que la suite est à termes positifs.

    Les questions préalables ne sont toujours pas là...

    Alors pour ne pas laisser cette question sans aboutissement, "j'invente" une question préliminaire qui convient mais qu'il n'est pas forcément celle de l'énoncé !
    Une question préliminaire possible : démontrer (par récurrence) que pour tout n de N : 12≤Un≤3\dfrac{1}{2}\le U_n \le 321Un3

    Initialisation pour n=0 évident
    Transmission
    Hypothèse pour une valeur de n de N : : 12≤Un≤3\dfrac{1}{2}\le U_n \le 321Un3
    Conclusion à démontrer : 12≤Un+1≤3\dfrac{1}{2}\le U_{n+1} \le 321Un+13
    Piste de la démonstration:
    12≤Un≤3\dfrac{1}{2}\le U_n \le 321Un3
    donc
    32≤1+Un≤4\dfrac{3}{2}\le1+ U_n \le 4231+Un4
    En prenant l'inverse et en multipliant par 2
    12≤21+Un≤43\dfrac{1}{2}\le \dfrac{2}{1+U_n}\le \dfrac{4}{3}211+Un234
    donc nécessairement
    12≤Un+1≤3\dfrac{1}{2}\le U_{n+1} \le 321Un+13

    Question proprement dite
    ∣Un+1−1∣=∣1−Un∣∣1+Un∣|U_{n+1}-1|=\dfrac{|1-U_n|}{|1+U_n|}Un+11=1+Un1Un

    Vu que Un≥12U_n \ge \dfrac{1}{2}Un21 (voir question préliminaire) ,
    1+Un≥321+U_n \ge \dfrac{3}{2}1+Un23 donc, vu que 1+Un1+U_n1+Un est positif, ∣1+Un∣≥32|1+U_n| \ge \dfrac{3}{2}1+Un23

    Conséquence : 1∣1+Un∣≤23\dfrac{1}{|1+U_n|}\le \dfrac{2}{3}1+Un132
    D'où :
    $\fbox{|U_{n+1}-1|\le \dfrac{2}{3}|U_n-1|}$


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