4. Exercice valeur absolue

Exercice valeur absolue

  • C

    Bonjour, j'ai un problème sur un exercice.
    On me dit que Un+1−1=1−UnUn+1U_{n+1} -1= \dfrac{1- U_n}{ U_n+ 1}Un+1​−1=Un​+11−Un​​
    Et nous devons déduire que
    ∣Un+1−1∣≤∣Un−1∣|U{n+1} -1| \le |U_n - 1|∣Un+1−1∣≤∣Un​−1∣

    J'ai essayé plusieurs pistes mais rien ne donne, j'ai essayé de réduire la valeur absolue mais je ne trouve rien..

    Merci.

    (formules re-écrites en Latex par la modération)

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    Bonsoir Constance,

    Aucune autre indication sur la suite UnU_nUn​ ?
    L'énoncé est complet ?

  • mtschoon

    @Noemi et @Constance bonjour,

    Constance, comme te l'a dit Noemi, on ne peut pas répondre aux questions que tu poses, vu la façon dont tu les poses...

    Visiblement, tes deux questions (deux topics ouverts ) sont relatives au même problème.
    Il faut connaître les données exactes et les questions préalablement traitées pour pouvoir t'aider.

    Surtout en Terminale, tout problème bien construit est composé de questions qui s'enchaînent souvent pour aboutir à la conclusion finale

    La propriété ∣Un+1−1∣≤23∣Un−1∣|U_{n+1}-1| \le \dfrac{2}{3}|U_n-1|∣Un+1​−1∣≤32​∣Un​−1∣ permet de trouver une inégalité du type
    0≤∣Un−1∣≤(23)n∣U0−1∣0\le |U_n-1|\le \biggl(\dfrac{2}{3}\biggl)^n|U_0-1|0≤∣Un​−1∣≤(32​)n∣U0​−1∣
    (On ne sait pas la valeur du premier terme de la suite...)

    Idée pour l'explication :
    0≤∣Un−1∣≤23∣Un−1−1∣≤(23)2∣Un−2−1∣≤(23)3∣Un−3−1∣≤...≤(23)n∣U0−1∣0\le |U_n-1|\le \dfrac{2}{3}|U_{n-1}-1|\le\biggl (\dfrac{2}{3}\biggl)^2|U_{n-2}-1|\le\biggl (\dfrac{2}{3}\biggl)^3|U_{n-3}-1| \le ...\le \biggl(\dfrac{2}{3}\biggl)^n|U_0-1|0≤∣Un​−1∣≤32​∣Un−1​−1∣≤(32​)2∣Un−2​−1∣≤(32​)3∣Un−3​−1∣≤...≤(32​)n∣U0​−1∣

    Ainsi, lorsque n tend vers +∞+\infty+∞, (23)n\biggl(\dfrac{2}{3}\biggl)^n(32​)n tend vers 0 donc Un−1U_n-1Un​−1 tend vers 0 (par encadrement) donc UnU_nUn​ tend vers 1
    La suite (Un)(U_n)(Un​) converge vers 1

    Cela doit être ça le but de l'exercice, mais il faut l'énoncé complet pour apporter notre aide.

    C 1 réponse
  • C

    @mtschoon U(0)= 1÷2 pardon
    Donc je remplace les n ?

    C 1 réponse
  • C

    @Constance effectivement j'ai fait une erreur sur les l'énoncé...
    C'est plutôt, montrer que pour tout n appartenant N, ..., En déduire que, ..

  • mtschoon

    @Constance ,

    Merci d'avoir indiqué le premier terme U0=12U_0=\dfrac{1}{2}U0​=21​
    Je suppose qu'il est indiqué quelque part que : Un+1=21+UnU_{n+1}=\dfrac{2}{1+U_n}Un+1​=1+Un​2​
    On peut justifier aisément que la suite est à termes positifs.

    Les questions préalables ne sont toujours pas là...

    Alors pour ne pas laisser cette question sans aboutissement, "j'invente" une question préliminaire qui convient mais qu'il n'est pas forcément celle de l'énoncé !
    Une question préliminaire possible : démontrer (par récurrence) que pour tout n de N : 12≤Un≤3\dfrac{1}{2}\le U_n \le 321​≤Un​≤3

    Initialisation pour n=0 évident
    Transmission
    Hypothèse pour une valeur de n de N : : 12≤Un≤3\dfrac{1}{2}\le U_n \le 321​≤Un​≤3
    Conclusion à démontrer : 12≤Un+1≤3\dfrac{1}{2}\le U_{n+1} \le 321​≤Un+1​≤3
    Piste de la démonstration:
    12≤Un≤3\dfrac{1}{2}\le U_n \le 321​≤Un​≤3
    donc
    32≤1+Un≤4\dfrac{3}{2}\le1+ U_n \le 423​≤1+Un​≤4
    En prenant l'inverse et en multipliant par 2
    12≤21+Un≤43\dfrac{1}{2}\le \dfrac{2}{1+U_n}\le \dfrac{4}{3}21​≤1+Un​2​≤34​
    donc nécessairement
    12≤Un+1≤3\dfrac{1}{2}\le U_{n+1} \le 321​≤Un+1​≤3

    Question proprement dite
    ∣Un+1−1∣=∣1−Un∣∣1+Un∣|U_{n+1}-1|=\dfrac{|1-U_n|}{|1+U_n|}∣Un+1​−1∣=∣1+Un​∣∣1−Un​∣​

    Vu que Un≥12U_n \ge \dfrac{1}{2}Un​≥21​ (voir question préliminaire) ,
    1+Un≥321+U_n \ge \dfrac{3}{2}1+Un​≥23​ donc, vu que 1+Un1+U_n1+Un​ est positif, ∣1+Un∣≥32|1+U_n| \ge \dfrac{3}{2}∣1+Un​∣≥23​

    Conséquence : 1∣1+Un∣≤23\dfrac{1}{|1+U_n|}\le \dfrac{2}{3}∣1+Un​∣1​≤32​
    D'où :
    $\fbox{|U_{n+1}-1|\le \dfrac{2}{3}|U_n-1|}$

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