variables aléatoires



  • Bonjour
    Un couple s'accorde en adoptant la règle suivante:
    Si le premier enfant est une fille, elle sera une fille unique.
    Sinon, ils auront un second enfant , puis un troisième si le second est un garçons.
    Ils écartent l'hypothèse de naissances multiples et supposent que les deux sexes sont équiprobables.
    On désigne par X,Y et Z, respectivement, les variables aléatoires indiquant le nombre d'enfants, le nombre de garçons et le nombre de filles que l'on pourra compter chez ce couple
    1°) Illustrer avec un arbre.
    2°) Déterminer la loi de probabilité de chaque variable.
    3°) Combien le couple peut-il espérer avoir d'enfants ? de garçons ? de filles ?

    1°) arbre:
    https://zupimages.net/up/19/42/wkil.jpg

    2°) Loi de probabilité de X: ( dont je ne suis pas sûr )
    X={1;2;3}
    P(X=1)=0,5
    P(X=2)=0,5*0,5=0,25
    P(X=3)=0,5^3 + 0,5^3=0,25

    Loi de probabilité de Y:
    Y={0,1,2,3}
    P(Y=0)=0,5
    P(Y=1)= ?

    Voilà je bloque

    Merci pour l'aide.


  • Modérateurs

    Bonjour kadforu,

    La probabilité d'avoir un seul garçon correspond à la probabilité d'avoir que deux enfants, donc P(Y=1) = ....



  • P(Y=1) = 0,50,5=0.25
    P(Y=2) = 0,5
    0,50,5=0,125
    P(Y=3) = 0,5
    0,5*0,5=0,125

    Même si c'est ça je n'ai pas compris le raisonnement.
    On dirait qu'on compte une fille avec les garçon.


  • Modérateurs

    @Noemi @kadforu bonjour,

    @kadforu, je regarde ta dernière réponse relative à la variable Y .
    Tes résultats sont bons ( en ajoutant le cas de Y=0 à ta dernière réponse )

    Je vais tenter de t'expliquer, si ce n'est pas clair pour toi.
    Je recopie l'arbre (exact) que tu as fait pour l'avoir sous les yeux.
    proba.jpg
    L'énoncé te dit de faire l'arbre en question 1) pour que tu puisses l'utiliser pour répondre aux questions suivantes.

    Avec l'énoncé, la situation se traduit par 4 éventualités représentées par les 4 branches de l'arbre probabiliste.
    Les branches partent du point à gauche et vont jusqu'aux 4 extrémités .
    Les branches sont F , G->F , G->G->F , G->G->G

    Pour chaque branche, tu peux donner la valeur associée à Y en utilisant las probabilités écrites sur l'arbre

    F : Y=0 probabilité 1/21/2
    G->F : Y=1 probabilité (1/2)2(1/2)^2
    G->G->F : Y=2 probabilité (1/2)3(1/2)^3
    G->G->G : Y=3 probabilité (1/2)3(1/2)^3

    Tu obtiens ainsi la loi de probabilité de Y (et tu peux vérifier que la somme de ces probabilités vaut bien 1)
    p(Y=0)=1/2p(Y=0)=1/2
    p(Y=1)=(1/2)2p(Y=1)=(1/2)^2
    p(Y=2)=(1/2)3p(Y=2)=(1/2)^3
    p(Y=3)=(1/2)3p(Y=3)=(1/2)^3

    En général, on dispose les résultats sous forme de tableau

    tableau.jpg

    Tu peux pratiquer ainsi pour toute variable aléatoire

    Pour la variable X
    F : X=1 probabilité 1/21/2
    G->F : X=2 probabilité (1/2)2(1/2)^2
    G->G->F : X=3 probabilité (1/2)3(1/2)^3
    G->G->G : X=3 probabilité (1/2)3(1/2)^3

    Tu obtiens ainsi la loi de probabilité de X (et tu peux vérifier que la somme de ces probabilités vaut bien 1)
    p(X=1)=1/2p(X=1)=1/2
    p(X=2)=(1/2)2p(X=2)=(1/2)^2
    p(X=3)=(1/2)3+(1/2)3p(X=3)=(1/2)^3+(1/2)^3
    Tu disposes sous forme de tableau.

    Réfléchis à tout ça et pratique de même pour la variable Z
    Tiens nous au courant si besoin.



  • Merci pour les explications.
    Comme l'arbre n'est pas complet (comme d'habitude ) et bien j'étais un peu perturbé.
    p(Z=0)=(1/2)^3=0,125 ( aucune fille c'est à dire 3 garçons )
    p(Z=1)=0,5+ 0,50,5 + 0,50,5*0,5 =0,875 (F,G-F,G-G-F)

    Ou p(Z=1=1-P(Z=0)=,875.

    On va dire que je n'avais pas bien fait attention à l'énoncé qui précise:

    qu'il aurait qu'une seule fille
    

  • Modérateurs

    @kadforu

    C'est vrai que l'arbre n'a pas la physionomie habituelle.

    L'étude de Z est exacte. Je pense que tu as très bien compris.

    Pour la dernière question, tu calcules les espérances mathématiques E(X), E(Y), E(Z).

    Bonnes probabilités !


Se connecter pour répondre
 

Découvre aussi nos cours et fiches méthode par classe

Les cours pour chaque niveau

Encore plus de réponses par ici

  • 8
  • 2
  • 2
  • 3
  • 36
  • 4
  • 10
  • 8
  • 6
  • 1