Equations de cercles Intersection

[Constance]

Bonjour, pourriez-vous m'aider sur un exo?
Voici l'énoncé:
Le plan est muni d'un repère orthonormé . Soit (C) l'ensemble des points M( x ; y ) tels que x^2 + y^2 + 6x -3y + 5 =0
1.Montrer que (C) est un cercle dont on précisera les coordonnées du centre ꭥ ainsi que le rayon.
2.Déterminer une équation de T.
3.a) Démontrer que:
le système (S): { x^2 + y^2 + 6x -3y + 5 =0
{ x^2 + y^2 - 4x - 8y - 5 = 0
(je ne sais pas comment mettre ces deux éq° dans la même accolade sur ordi)
... est équivalent au système (S'): { x^2 + y^2 + 6x -3y + 5 =0
{ 2x + y + 2 = 0
3.b) Résoudre le système (S')
3.c) Que représentent les couples solutions du système (S') ?
On considère la droite Dp d'éq° y=-x+p où p est un réel quelconque. Déterminer le nbre de points d'intersection du cercle (C) et la droite Dp selon les valeurs du réel p.
Pour la 1ère quest°, j'ai essayé d'y répondre en calculant l'éq° cartésienne du cercle mais je ne pense pas que ce soit judiceux...

L'éq° cartésienne d'1 cercle aurait-elle plus son utilité dans la question 2. ?

Pour la quest° 3. a) je ne vois pas comment est-ce que x^2 + y^2 - 4x - 8y - 5 = 0 peut être équivalent à 2x + y + 2 = 0. Qu'est-ce qu'on peut bien utiliser?

Pour la ques° 3. b) j'ai trouvé comme système (S') :
{ -x^2 + 4x + 15 =0
{ y= -2x - 2
J'ai réussi à trouver y mais pas x , je crois que je me suis trompé quelque part puisque comment peut-on isoler x avec un -x^2 et 4x?

Pour la quest° 3. c) j'ai dit que les couples solutions du système (S') représentés les coordonnées des points d'intersections de C et T.
Et pour la dernière question, soit la 4. j'ai trouvée un résultat très étrange '-' ...
Je suis partie du système suivant:
{ x^2 + y^2 + 6x - 3y + 5 = 0
{ y= - x + p
J'ai repris les données de l'énoncé mais après avoir développé, je trouve:
{ 4xp - 2p^2 + 6x + 3x^2 - 2 = 0
{ y = - x + p
Je me demande si avec "ma méthode" c'est plutôt pour calculer les coordonnées des points d'intersections au lieu de déterminer le nbre de points d'intersection ...

[Noemi]

Bonjour Constance,

Pour la question 1, cherche l'équation du cercle sous la forme $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$.

Pour la question 2, que représente T ?

Pour la question 3 a) la deuxième équation correspond à la soustraction des deux équations.
Pour la question 3 b) vérifie les calculs, tu dois trouver $x^2+4x+3=0$.

[mtschoon]

@Noemi et @Constance , bonjour,

@Constance
Merci d'avoir recopié tes questions sur le forum car le message privé que tu m'as envoyé n'est pas prévu pour ça,

Un petit coup de pouce supplémentaire pour la 1) pour trouver l'expression donnée par @Noemi .
Utilise les identités reemarquables
$x^2+6x=(x+3{)}^2-9$
$y^2-3y=(y-\frac{3}{2}{)}^2-\frac{9}{4}$

Tu remplaces dans l'équation donnée et tu dois trouver la forme usuelle de l'équation d'un cercle avec coordonnées du centre et rayon.

[Constance]

@mtschoon a dit dans Equations de cercles Intersection :

J'ai donc trouvée que l'éq° de cercle C est (x+3)^2 + (y - 3/2)^2 = (5/2)^2
Soit le cercle C a pour centre A(3; 3/2) et de rayon 5.
Je me suis trompée quelque part?

[Constance]

@Noemi Pour la question 2. j'ai dit que T avait pour éq°:
(x-a)^2 + (y-b)^2 = 5^2
Cela suffit pour répondre à la question posée?

[Constance]

@Constance Et qu'il avait pour centre A( a ; b )

[Constance]

@Noemi En soustrayant le système (S) pour que celui-ci soit équivalant au système (S') , j'ai trouvée qu'il est = 2x - 11y + 10 or on ne trouve pas ça dans la deuxième équation... Je n'arrive pas à voir là où ça bloque

[Constance]

@Noemi Pour la question 3. b) j'ai refais mon système et j'ai trouvée x^2 + 12x + 1= 0
Je suis partie avec y= -2 - 2x

[Noemi]

@Constance

Une erreur dans les coordonnées du centre du cercle c'est (-3;3/2).

Pour la question 2, Il manque des indications sur T
Par exemple T est un cercle de ....
Ou T a pour équation : $x^2+y^2-4x-8y-5=0$ ??

Question 3 a )
tu fais la soustraction :
$x^2+y^2+6x-3y+5-(x^2+y^2-4x-8y-5)=.....$
Attention à la règle des signes !!

[Constance]

@Noemi Pour la 1. pourquoi est-ce que c'est -3 puisque dans sa forme factorisée on a (x+3)^2 ?

[Constance]

@Noemi Pour la 2. on sait que T a pour centre A et a un rayon = 5
Mais pourquoi prendre l'équation x^2 + y^2 - 4x - 8y - 5 =0 pour T ?

[Noemi]

Quelles sont les coordonnées du point A ?

Je suppose que A(2;4) donc
l'équation de T serait $(x-2{)}^2+(y-4{)}^2=25$
si tu développes cette équation tu trouves la deuxième donnée dans l'énoncé.

A vérifier !!

[Constance]

@Noemi Effectivement j'ai retrouvée l'éq donnée dans l'énoncé. Donc si on suppose que A ( 2 ; 4 ), l'éq° de T est juste. Merci

[Noemi]

@Constance

Tu dois avoir dans l'énoncé des indications sur T.
La question 2 est incomplète. A toi de vérifier l'énoncé.

[Constance]

@Noemi On nous précise seulement que T a pour centre A et a un rayon = 5 cm

[Noemi]

@Constance

L'énoncé doit aussi donner les coordonnées du point A.

[mtschoon]

Bonjour ,

Il me semble qu'il vaudrait mieux passer à une question que lorsque la précédente est solutionner correctement...
S'il y a des enchaînements logiques entre les questions, tu ne peux plus les voir convenablement.

Pour (C), je ne sais plus si tu as compris comment trouver les coordonnées exactes du centre et le bon rayon ?
L'équation que tu as trouvée est juste :
(C) $(x+3{)}^2+(y-3/2{)}^2=(5/2{)}^2$
Tu peux écrire
$(x-(-3){)}^2+(y-3/2{)}^2=(5/2{)}^2$
L'équation du cercle de centre I(a,b) et de rayon R est
$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$
Tu peux donc déduire que a=-3, b=3/2 et R=5/2

[Constance]

@Noemi Oui en effet, on avait supposer que A(2;4) or je viens de m'appercevoir que c'était préciser dans l'énoncé..

[Noemi]

@Constance

Il serait bien à l'avenir que tu écrives l'énoncé en entier.

[Constance]

@mtschoon Ok je n'avais pas pensée au fait que (x+3)^2 pouvais s'écrire
(x−(−3))^2. Merci.

[Constance]

@Noemi Oui effectivement je viens de constater que j'ai oublié de recopier une ligne importante de l'énoncé...

[Constance]

@Noemi a dit dans Equations de cercles Intersection :

x2+y2+6x−3y+5−(x2+y2−4x−8y−5)=.....

J'ai refais cette question mais malheuresement je retombe au même résultat, j'obtiens 2x - 11y + 10 = 0 or celle-ci n'est pas égale à l'éq° 2x + y + 2 =0 ... ?
-3y -8y = -11y # y et 5 - (-5) = 10 # 2

[Noemi]

@Constance
$x^2+y^2+6x-3y+5-(x^2+y^2-4x-8y-5)$ =
$x^2+y^2+6x-3y+5-x^2-y^2+4x+8y+5$ =
$10x+5y+10$ =0
équation qu'il reste à simplifier.

[Constance]

@Noemi J'ai tenter à plusieurs reprise de refaire le système en question de la question 3. b) or, je n'arrive pas à la fin avec le bon résultat...
Je pars du système:
x^2 + y^2 + 6x - 3y - 5 = 0
2x + y + 2 = 0

Je trouve y= -2 -2x

Je remplace donc y dans l'équation du dessus et à l'issue de se système j'obtiens -x^2 + 4x + 1 = 0

Je ne vois pas où est mon erreur de calcul ...

[Constance]

@Noemi C'est bon j'ai réussi à démontrer merci

[Noemi]

@Constance

C'est bien si tu as compris et terminé l'exercice.

[Constance]

@Noemi Je répondais à la question 3. a), toujours pas compris la 3. b)

[Noemi]

@Constance

Pour la question 3. b), tu résous le système :
$y=-2x-2$
$x^2+y^2+6x-3y+5=0$

Remplace $y$ par son expression dans la deuxième équation et détermine $x$.
Tu dois trouver une équation du second degré que tu résous.

[Constance]

@Noemi J'obtiens x^2 + 4x + 3 =0
Peut-on directement utiliser le delta pour trouver les solutions de se système?

[Noemi]

@Constance

C'est correct. Oui utilise Delta.

[Constance]

@Noemi Donc déterminer x n'est pas nécessaire?
Puisque je ne vois pas comment le déterminer puisqu'il y a un x^2 qui nous embête..

[Noemi]

@Constance

Cherche les valeurs de $x$ qui annule l'équation.

[Constance]

@Noemi J'ai donc trouvée à l'issue de cette éq° que x1= -3 et x2=-1
On en déduit que le système (S') a pour solution x1 et x2.
C'est bien ça?

[Noemi]

@Constance

Tu cherches les valeurs de $y$ correspondantes à partir de $y=-2x-2$.
Tu en déduis les coordonnées de deux points solutions.

[Constance]

@Noemi On a alors y= 6 ou y= 0
C'est ça?
Il faut faire de même avec l'éq°?

[Noemi]

@Constance
si $x=-3$ ; $y=6-2=4$ donc couple $(-3;4)$
si $x=-1$ ; $y=2-2=0$, donc couple $(-1;0)$
Tu obtiens deux couples solutions du système.

3 c) C'est couples solutions correspondent aux coordonnées des points d'intersection des deux cercles

Pour la dernière question, tu appliques le même raisonnement.

[Constance]

@Noemi Il nous faut retrouver deux solutions à partir de x?
Dans ce cas là, quelle éq° utiliser?

[Noemi]

@Constance

Tu parles de la dernière question ?
Dans ce cas tu as à résoudre le système :
$x^2+y^2+6x-3y+5=0$
$y=-x+p$

Commence par remplacer dans la première équation $y$ par $-x+p$.

[Constance]

@Noemi Je trouve:
-2xp + p^2 + 9x - 3p + 5 =0
J'ai fais des erreurs de calculs?

[Noemi]

@Constance

Il manque un terme : $2x^2$.

[Constance]

Si je développe l'éq° j'ai trouvée:
x^2 + (-x)^2 + 2 * (-x) * p + p^2 + 6x + 3x -3p + 5 =0
Ou est-ce que j'ai bien pu faire une erreur...

[Noemi]

@Constance

Le développement est juste.
Indique la suite.

[Constance]

@Noemi Donc je dois rajouter + 2x^2 à ce que j'ai trouvée?

[Noemi]

@Constance

Oui,
puis tu résous cette équation pour trouver le nombre de solution en fonction des valeurs du paramètre p.

[Constance]

Dans la question précédente on avait une équation du type polynome du second degré, or ici ce n'est pas le cas. On a deux réels x et p
Je ne vois comment on pourrait commencer à résoudre cette éq°
On utilise la factorisation?

[Constance]

@Constance Est-ce que c'est possible de mettre cette éq° sous la forme:
( 2x^2 + 9x + 5 ) + ( p^2 - 2xp - 3p)
Et on calcule le delta des deux parenthèses?

[Constance]

@Constance Pour l'équation, 2x^2 + 9x + 5 =0 j'ai trouvée deux solutions, soit: x1= -9 - √41 / 4 et x2= -9 + √41 / 4

Et pour l'autre équation, soit: p^2 - 2xp - 3p = 0 j'ai également trouvée 2 solutions: x1= -1 et x2= 3

J'ai remplacée ensuite:
y1= -x1 + p1 = 2,85
y2= -x2 + p2 = 6,85

Pas sur de mes calculs...

[Noemi]

@Constance

L'inconnue est $x$
l'équation s'écrit : $2x^2+(9-2p)x+(p^2-3p+5)=0$
Calcule delta. puis étudie le nombre de solution en fonction des valeurs de p.

[Constance]

@Noemi C'est normal qu'à l'issue de mon delta je trouve, -6p^2 - 42p + 91 ?

[Noemi]

@Constance

Tu as fais des erreurs de calcul, tu dois trouver $-4p^2-12p+41$
détermine le signe de cette expression selon les valeurs de $p$ pour en déduire le nombre de solutions de l'équation.

[Constance]

@Noemi J'ai toujours un problème avec le développement de l'éq° ... puisque j'ai trouvée -6p^2 - 12p + 41
Léger soucis avec le -6p^2, mais je ne comprends pas comment est-ce qu'on trouve -4p^2 puisque 2p^2 - 8p^2 = -6p^2 ?

[Noemi]

@Constance
$2x^2+(9-2p)x+(p^2-3p+5)=0$
delta = $(9-2p{)}^2-8(p^2-3p+5)$ =
$81-36p+4p^2-8p^2+24p-40$ =
$-4p^2-12p+41$

[Constance]

@Noemi Pour trouver le signe de cette expression on est bien d'accord qu'il faut faire un tableau de signe? Et donc trouver x1 et x2 avant. Mais comment est-ce qu'on peut résoudre ces solutions avec un delta qui a la forme de : -4p^2 - 12p + 41

[Noemi]

@Constance

Résous $-4p^2-12p+41=0$ pour déterminer pour quelles valeurs de $p$, le système admet une solution, puis tu indiques pour quelles valeurs de $p$, le système admet deux solutions ou pas de solution réelle.

[Constance]

@Noemi J'ai trouvée comme solutions -3+ 5√2/2 et (-3+ 5√2)/2.
Je suis vraiment désolée d'insister sur cette question mais je ne comprends vraiment pas comment trouver que le système peut admettre une solution x de p et si il admet deux solutions ou pas de solutions réelle.
J'aurais bien voulu remplacer les deux solutions trouver dans y, mais que devient p? Ca ne répondrait pas à la question.. ?

[Noemi]

@Constance

Une erreur de signe pour la deuxième solution c'est $p_2=(-3-5\sqrt{2})/2$.
Si $p=p_1$ ou $p_2$, l'équation admet une racine double $x=....$
Si $p$ compris entre $p_2$ et $p_1$; l'équation admet deux solutions.
$x_1=...$ et $x_2=....$

[Constance]

Cela fait 40 minutes que j'essaie de finir cette question avec l'aide que vous m'avez apportée mais je ne comprends toujours pas

[Noemi]

@Constance

Essaie de compléter les ....
Cela correspond au cours, une racine double : $x=-\frac{b}{2a}$;
Il suffit de remplacer $b$ et $a$ par leur expression.

[Constance]

@Noemi Si p = p1 ou p=p2 , l'équation admet une racine double x = 12/4 = 3
Si p compris entre p2 et p1, l'éq° admet deux solutions tels que x1= (-3)+5√2/2 et x2= (-3-5√2)/2

J'avais encore jamais entendue parler de l'expression "racine double" ...

[Noemi]

@Constance
L'équation de départ est :
$2x^2+(9-2p)x+(p^2-3p+5)=0$
Donc si $p=p_1$ ou $p=p_2$

$x=-\frac{9-2p}{4}$ Il reste à remplacer $p$ par $p_1$ puis par $p_2$.

[Constance]

@Noemi OK! SUPER! J'ai compris, merci beaucoup

[Noemi]

@Constance

Tu as écris le cas ou il y a deux solutions et celui ou il n'y a pas de solution ?

[Constance]

@Noemi Euh non, pas dans le cas où il n'y a pas de solutions, mais ça c'est quand delta < 0 ?

[Noemi]

@Constance

Oui. C'est cas pour $p<p_2$ et pour $p>p_1$.

[mtschoon]

Bonjour,
Je me permets seulement de passer ...
En consultant la discussion, je vois une faute sur la racine double d'une équation du second degré d'inconnue x .
C'est $x=\frac{-b}{2a}$ et non $x=\frac{-b}{a}$ comme indiqué.

[Noemi]

Merci mtschoon pour cette remarque. J'ai rectifié le post.

Constance a utilisé $2a$, donc pas de souci pour les calculs .

[mtschoon]

De rien @Noemi.