Exercice sur la trignonométrie

Bonjour, j'ai un devoir à rendre assez rapidement mais je suis bloqué sur un exercice :

Résoudre dans R l'équation cos x = racine de 3 sur 2.
a. Démontrer que racine (19-8racine3) = 4-racine de 3
b. Résoudre dans R l'équation 2X exposant 2 - (4+racine de 3 )X + 2racine de 3 = 0
En déduire les solutions dans [0;2pi[ de l'équation 2cos au carré x - (4 + racine de 3 ) cos x + 2 racine de 3 = 0.

Merci d'avance pour le temps que vous me conssacrez.

Bonjour leo04,

$Cosπ6=32Cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac {\sqrt3}{2}$
puis tu utilises le cours avec $c o s a = c o s b$ a pour solution : ......

Bonjour,
cosx = racine de 3 sur 2 admet deux solutions : x = -(racine3 sur 2) + 2Kpi et x = (racine3sur2)+2Kpi ?

@leo04

C'est $x=−π6+2kπx=-\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ et $x=π6+2kπx=\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ .

Ok merci, j'avais tout bêtement inversé racine3 sur 2 et pi sur 6. Concernant la question 2 je suis également bloqué...

@leo04

calcule $\sqrt3)^2$ = ....

Effectivement, merci beaucoup

Rebonjour, concernant la question 2 petit b j'ai essayé de résoudre l'équation en utilisant delta, je suppose que ce n'est pas ce que l'on attend de moi. Je me trompe ?

@leo04

C'est une équation du second degré, donc tu peux utiliser la méthode avec le calcul de delta.

@Noemi ,@leo04 , bonjour,

@leo04 ,
Un petit plus, si besoin,

Pour pouvoir vérifier, je te donne la valeur que tu dois trouver pour le discriminant de l'équation du second degré

$Δ=19−83\Delta=19-8\sqrt 3$

Bien sûr, pour appliquer ensuite les formules de résolution, pense à utiliser la réponse à la question précédente (elle est faite pour ça)
$Δ=19−83=4−3\sqrt{\Delta}=\sqrt{19-8\sqrt 3}=4-\sqrt 3$

Tiens nous au courant de ton avancée, si tu as besoin.

ok, alors a= 2, b = -4+racine de 3 et c = 2racine de 3.

Je trouve delta = 19-24racine de 3. Il n'y a donc pas de solution dans les réels R. Est-ce bien cela ?

Je n'avais pas vus, je vais le recalculer je me suis trompé

C'est bon, j'ai ensuite calculé x1 et X2 et l'obtiens 0 et -2, est-ce bien cela ?

@leo04

Non, vérifie tes calculs en faisant attention aux signes.

Mais b = -4+racine de 3 ou 4+ racine de 3 ? Parceque si il vaut -4+racine de 3 je n'obtiens pas le même delta.

Pourriez-vous svp détailler le calcul de delta.

@leo04

$-(4+\sqrt3)$
delta = $(−(4+3))2−4×2×23(-(4+\sqrt3))^2 - 4\times 2\times2\sqrt3$ =
$(16+83+3−163)(16+8\sqrt3+3-16\sqrt3)$ =
$19−8319-8\sqrt3$

Les solutions sont $32\dfrac{\sqrt3}{2}$ et 2.

Mais ou passe le - au moment de l'identité remarquable ? (-4+racine de 3)= (16 + 2x-4 x racine de 3 + 3) = 16-8racine de 3 + 3 ) non ?

@leo04

Ce n'est pas $+\sqrt3$ mais $−(4+3)-(4+\sqrt3)$

Je trouve le 2 mais pas le racine de 3 sur 2. Vous l'obtenez en faisant -b-racinededelta sur 2a ?

@leo04

Oui

$4+3−(4−3)4\dfrac{4+\sqrt3-(4-\sqrt3)}{4}$ = .....

beh 4-4 =0 et racine de 3 - racine de 3 = 0

ah non c'est racine de 3 -(-)racine de 3 donc racine de 3 + racine de 3

@leo04

Non
$4+3−(4−3)4=4+3−4+34\dfrac{4+\sqrt3-(4-\sqrt3)}{4} = \dfrac{4+\sqrt3-4+\sqrt3}{4}$ = .....

OUi c'est bon merci ,mais comment je peux déduire dans la question 3
?

ah mais c'est -pi sur 6 +2kpi et pisur6 + 2kpi ?

@leo04

Oui,

Tu choisis les valeurs de k pour obtenir les valeurs comprises entre 0 et $2π2\pi$ .

je ne sais pas comment faire

@leo04 , bonjour,

Je regarde ta dernière question, en attendant que @Noemi repasse par là.
Tu dois chercher les valeurs de x comprises entre 0 et 2π.

a) $\fbox{x=-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi}$
Pour k < 0, ces valeurs ne conviennent pas car x serait strictement inférieur à 0
Pour k=0 : $x=−π6x=-\dfrac{\pi}{6}$ ne convient pas car x serait strictement inférieur à 0
Pour k=1 : $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi=\fbox{\dfrac{11\pi}{6}}$ convient car cette valeur de x est comprise entre 0 et $2π2\pi$
Pour k=2 : $x=−π6+4π=23π6x=-\dfrac{\pi}{6}+4\pi=\dfrac{23\pi}{6}$ ne convient pas car x serait supérieur à $2π2\pi$
Pour k > 2 : ces valeurs ne conviennent pas car x serait supérieur à $2π2\pi$

La seule valeur qui convient est $\fbox{x=\dfrac{11\pi}{6}}$ obtenue pour k=1

b)$\fbox{x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi}$

Tu appliques le même principe.
A toi de faire.

Pour le b, la seule valeur qui convient est x = pi sur 6 obtenue pour k=0

Oui, c'est exact .

Merci beaucoup,bonne journée

De rien !

C'est parfait si tu as tout compris (surtout grâce à @Noemi).

Bonne journée à toi.

Merci vous aussi !, merci également à @Noemi