,Dm géométrie vectorielle,plane et repères

Bonjour à tous, je suis en spe mathématique et je vous sollicite pour de l aide sur un devoir maison.
Je vous remercie d avance de nous aidez sur se sujet .

Voici l'énoncé :
on considère qu’après ponts du plan À B C D ainsi que les points I J K L milieux respectifs des segments [AB], [AD],[BC] et [CD] on appelle M le millieu de [BD] . voici les questions :
A\ géometrie plane
1/ Montrer que IJ et LK sont paralleles à BD et que IJ = 1/2BD et LK =1/2BD
2/ déduire que la nature de IJLK
B\ Géométrie vectorielle
1/ montrer que $IB→+MD→+DJ→=0→\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DJ}=\overrightarrow{0}$ .
2/en déduire $IJ→=BM→\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{BM}$ .
3/Montrer que $KL→=BM→\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{BM}$ .
4/déduire la nature de IJLK

Merci d‘avance toute aide est la bienvenue .

Formules vectorielles re-écrites en Latex et graphique refait, par la modération.

Bonjourt tom1973,

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.

@Noemi bonjour Noemi le 1 A et je ne sais pas comment je peux prouver la coolinearite des vecteurs et je ne comprend pas la 1B comment la justifier et l’exprimer

@tom1973

Pour la question 1, il faut utiliser la droite des milieux et Thalès.
Pour B, c'est la relation de Chasles.

@Noemi merci mais je comprend pas ce que c’est que la droite des milieux de Thales ? Et thales entre quel vecteur ?

@tom1973

Une démonstration vectorielle :
$AI→=12AB→\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2} \overrightarrow{AB}$

$AJ→=12AD→\overrightarrow{AJ} = \dfrac{1}{2} \overrightarrow{AD}$

$IJ→=IA→+AJ→\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AJ}$

$IJ→=12BA→+12AD→\overrightarrow{IJ} = \dfrac{1}{2} \overrightarrow{BA} + \dfrac{1}{2} \overrightarrow{AD}$

= $12BD→\dfrac{1}{2} \overrightarrow{BD}$

@Noemi ça me parle pas et c’est pour lequel expo ?

@tom1973

C'est pour montrer que (IJ) et (BD) sont parallèles.

@Noemi et @tom1973 , bonjour,
@tom1973 ,
Comme te l'a dit @Noemi dans sa première réponse, et en répondant à la question posée, dans la partie A.1., tu dois utiliser des théorèmes de géométrie plane.
Tu as dû les apprendre en classe de 3ème(collège)
Je te mets un lien :
https://www.mathforu.com/troisieme/theoremes-dans-les-triangles/#section-14

La partie A.2. en est la conséquence directe :
Les côtés [IJ] et [KL] sont parallèles et de même longueur, donc le quadrillatère IJLK est un parallélogramme.

En bref, la partie A est l'application directe de propriétés vues en collège.

C'est dans la partie B que tu dois faire du calcul vectoriel, sans utiliser les réponses de la partie A, faites seulement avec des propriétés usuelles de géométrie plane.

Le but de la partie B est de te faire trouver les résultats par la voie vectorielle.

Lorsque tu auras revu ton cours de 3ème et répondu à la partie A, je te mets sur la voie de ta partie B (calcul vectoriel)

$IB→=12AB→\overrightarrow{IB}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$
$MD→=12BD→\overrightarrow{MD}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD}$
$IB→=12DA→\overrightarrow{IB}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DA}$

Donc
$IB→+MD→+DJ→=12AB→+12BD→+12DA→\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DA}$

Tu mets 1/2 en facteur, tu utilises la relation de Chasles ce qui te permet de trouver $12AA→=120→=0→\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AA}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$ , d'où la réponse attendue.

Essaie de poursuivre et tiens nous au courant si besoin.

@mtschoon salut merci de ton aide m’a été précieuse voilà ce que j’ai trouver , désolé d’avance pour la propreté !

scans lus mais supprimés...

@tom1973 , j'ai lu tes scans et le contenu me parait correct mais vraiment, ce n'est pas la façon de procéder...
Si tu regardes différents topics, tu ne verras pas ce genre d'écrits...
Ici, on fait l'effort de répondre en utilisant le Latex par respect pour tous ceux qui viennent consulter, alors, toi, évite tes "scans brouillons"
De toute façon, c'est à ton professeur de juger la qualité de ta rédaction/ explication, pas à nous.

Maintenant, passe à la question B.2. et tiens nous au courant si besoin.

@mtschoon excuse moi je suis nouveau c'est mon premier post ...
je prend en compte tes remarques Je continue de chercher mais j aimerais savoir dans quel rubrique se trouve les propriété sur les vecteurs car je ne les connais pas et je bloque encore sur la 2B et 3B

@tom1973 ,

Bien sûr que tu es excusé !

La propriété la plus utile ici est la relation de Chasles.

Piste pour le 2B

Tu pars de la relation démontrée au 1B

Tu remplaces $IB→\overrightarrow{IB}$ par $IJ→\overrightarrow{IJ}$ + $JB→\overrightarrow{JB}$
Tu remplaces $MD→\overrightarrow{MD}$ par $MB→\overrightarrow{MB}$ + $BD→\overrightarrow{BD}$

La relation du 1B te permets ainsi d'écrire

$IJ→+JB→+MB→+BD→+DJ→=0→\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DJ}=\overrightarrow{0}$

Observe bien.

Dancs cette égalité, la somme de 3 des vecteurs vaut $JJ→\overrightarrow{JJ}$ c'est à dire $0→\overrightarrow{0}$
Il te restera $IJ→+MB→=0→\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$ et après transformation, tu arriveras à la conclusion souhaitée.

@mtschoon merci j'ai trouver la somme des 3 veteurs mais je ne vois pas quel est la transformation attendue : $IJ→\overrightarrow{IJ}$ + $0→\overrightarrow{0}$ = $BD→\overrightarrow{BD}$ ??
et c'est la meme chose pour la 3B ?

@tom1973 ,

Toujours la relation de Chasles
$JB→+BD→+DJ→=JJ→=0→\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DJ}=\overrightarrow{JJ}=\overrightarrow{0}$

Comme déja dit, dans la relation du 1B, il reste ainsi
$IJ→+MB→=0→\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$

En transposant :
$IJ→=−MB→\overrightarrow{IJ}=-\overrightarrow{MB}$

donc ................(tu termines)

@mtschoon donc $IJ→\overrightarrow{IJ}$ = $BM→\overrightarrow{BM}$ ?
pour le 3B j'ai repris la meme méthode que dans le 1 et 2b

@tom1973 ,
Oui, l'égalité vectorielle est la bonne.
Ton idée pour la 3B est la bonne aussi.

@mtschoon merci j'ai reussit le 3B il me reste une seule question pour toi il reste une partie au dm et la question est "on munit le plan du repère (A, $AD→\overrightarrow{AD}$ , $AB→\overrightarrow{AB}$ ) ety on note (x;y) les coordonnées du point du point C .
1/ déterminer les coordonnées des autres points de la figure en focntion de x et y si nécessaire .
ma question : il faut que je fasse un plan avec un repere sur les ordonnées je note $AD→\overrightarrow{AD}$ a l'extremité ce qui est égal a 1 et les abscisse $AB→\overrightarrow{AB}$ a l'extremité ce qui est egal a 1 et je lit les coordonnees par la suite par exemple : I (0.5;0.5) ? ou je doit noter avec des vecteurs ex (0.5 $AD→\overrightarrow{AD}$ ;0.5 $AB→\overrightarrow{AB}$ Merci pour cette ultime reponse je l'esperes

@tom1973

Utilise le schéma de départ en représentant les vecteurs $AD→\overrightarrow{AD}$ et $AB→\overrightarrow{AB}$ avec un flèche sur D et sur B.

Dans ce repère, D a pour coordonnées (1,0), B a pour coordonnées (0,1), J a pour coordonnées (1/2,0), I a pour coordonnées(0,1/2) etc.
Bonne fin de DM.