Fonctions,dérivée ,limites

Bonjour,j’ai un pb avec cet exo je ne comprends pas comment on répond à la question 1 j’ai essayé avec le taux d’accroissement mais je ne trouve rien merci de votre aide

On considère la fonction f définie sur [-1 ; 1] par :
f (x) = (1− x) $1−x2\sqrt{1-x^2}$

Montrer que f est dérivable sur ]-1 ; 1[
( Etudier la dérivabilité de f en -1 et 1. En déduire les tangentes à la courbe aux points d’abscisses 1 et -1.
Etudier le signe de f ’(x) et dresser le tableau de variations de f.
Calculer f (0) puis dans un repère tracer la courbe de f sur [-1 ; 1] (prendre 4 carreaux pour unité sur
chaque axe) après avoir tracer les tangentes de la question 2) et les éventuelles tangentes horizontales.

Bonjour nadine222,

La fonction $f$ est le produit d'une fonction dérivable ( $1 - x$ ) sur $R\mathbb{R}$ et d'une fonction continue $1−x2\sqrt{1-x^2}$ et dérivable sur l'intervalle ]-1;1[ (dérivabilité à démontrer si ce n'est pas dans le cours) donc dérivable sur cet intervalle.

Merci mtschoon pour le complément.

Bonsoir,

Je me permets un complément au sujet de dérivabilité et continuité, bien que souvent les fonctions usuelles sont les deux, pour lever toute ambiguité.
Toute fonction dérivable est continue mais toute fonction continue n'est pas forcément dérivable (exemple x->|x| qui est continue et 0 mais non dérivable en 0) donc on ne peut pas pas utiliser la continuité pour justifier la dérivabilité.

Pour justifier assez correctement la dérivabilité de x-> $1−x2\sqrt{1-x^2}$ , on peut utiliser la dérivabilité d'une fonction composée.
x-> $X=1-x^2$ est dérivable comme fonction polynôme
$X$ -> $X\sqrt X$ est dérivable pour X > 0 (théorème)
$X>0X\gt 0$ <=> $1−x2>01-x^2 \gt 0$ <=> $x∈]−1,1[x\in ]-1,1[$

@Noemi d’accord merci bcp et pour étudier la derivabilité en 1 et -1 je trouve une limite du type 0/0 🧐

@nadine222

Simplifie la fraction en recherchant un facteur commun.

Sauf erreur, tu dois trouver 0 quand $x$ tend vers 1- et $+∞+\infty$ si $x$ tend vers -1+.

@Noemi j’ai dû faire des erreurs de calcul alors

@nadine222

Indique tes calculs.

@Noemi pour la limite en 1 quand x <1 je trouve 1-x/x-1 racine carrée de 1-x2
Et pour la limite en -1 je trouve 1-x/x+1 racine carrée de 1-x2

@nadine222

Tu n'as pas simplifié.
Quand $x$ tend vers 1 : tu calcules la limite de $(1−x)1−x2x−1\dfrac{(1-x)\sqrt{1-x^2}}{x-1}$ équivalent à $−1−x2-\sqrt{1-x^2}$ si $x≠1x\neq 1$ . On obtient pour limite 0.
et
Quand $x$ tend vers -1, tu calcules la limite de $(1−x)1−x2x+1\dfrac{(1-x)\sqrt{1-x^2}}{x+1}$ équivalent à $(1−x)1−xx+1(1-x)\sqrt\dfrac{1-x}{x+1}$ . on obtient pour limite + $∞\infty$ .

@Noemi ah d’accord je vois merci! Et le nombre dérivée est donc plus l’infini et 0?

@nadine222

Tu dois déduire les équations des tangentes, soit y = 0 et x = -1.

@Noemi ah oui j’avais pas la bonne méthode

@nadine222 bonjour,

Tu as dit dans Fonctions,dérivée ,limites :

Et le nombre dérivée est donc plus l’infini et 0?

La réponse est "non", mais il faut comprendre pourquoi.

En -1 et 1, la fonction n'est pas dérivable vu qu'elle est seulement dérivable sur ]-1,1[

Donc, pour x=-1 et x=1, il ne peut pas y avoir de "nombre dérivé"(sinon, contradiction)

Pour x=1, 0 est seulement le nombre dérivé à gauche (il n'y a pas de nombre dérivé à droite)
On peut dire que le fonction est dérivable à gauche pour x=1 mais pas dérivable à droite.

Pour x=-1, on ne peut même pas parler de nombre dérivé à droite car $+∞+\infty$ n'est pas un nombre.
Donc la fonction n'est ni dérivable à droite, ni dérivable à gauche.

Revois toutes ces notions de près.