Proba suites Dm limite

Bonjour dans un dm j’ai un exercice proba suite séparé en 2 parties
Au cours d’un jeu video, julien ayant une certaine appetence pour les maths sait qu’il a 4 chances sur 10 de gagner la 1ere partie.
On admet que s’il gagne une partie la proba qu’il gagne la 2e est 0,65 et s’il perd une partie la proba qu’il perde la suivante est 0,8
Pour tout entier naturel n non nul Gn designe l’evenement « julien gagne la n-ieme partie »
Xn=p(Gn) Yn=p(Gnbarre)
Xn+1 = 0,65xn+0,2yn
Yn+1= 0,35xn+0,8yn
Pour tout entier naturel non nul on pose vn=xn+yn et wn =3,5xn-2yn

justifier que (vn) est constante
Je l´ai demontré et j’obtiens bien vn+1=vn
montrer que (wn) est une suite geometriqe de limite nulle
J’ai trouvé wn+1=0,45wn de premier terme w1=0,2 et de limite 0 car -1<0,45<1
exprimer (xn) en fonction de (wn)
Comme vn=xn+yn et wn = 3,5xn-2yn on en desuit 2vn=2xn+2yn ensuite on additionne membre a membre afin de virer le yn j’obtiens donc 5,5xn=wn+2vn donc xn=(wn/5,5)+2vn/5,5
Soit xn=0,2x0,45^n-1 / 5,5 +2/5,5
Ensuite je bloque
montrer que (xn) converge et determiner sa limite
en deduire la limite de (yn)

Bonjour shana67,

question 4; Comment démontres tu qu'une suite converge ?

@Noemi
Une suite converge si celle ci a une limite finie
L’expression de xn en fonction de wn est correct ?
Si oui alors lim xn quand n tend vers +l’infini est 2/5,5 ?

@shana67

Il faut montrer que la suite est :
soit croissante et majorée ;
soit décroissante est minorée

Commence par étudier les variations de la suite.

@Noemi
Je dois faire une recurrence ou seulement faire xn+1-xn= ?
L’expression de xn est-elle correct ?

L'expression est correcte mais tu peux simplifier l'écriture.
Calcule $x_{n+1} - x_n$ .

@Noemi
Xn=(2+0,2x0,45^n-1)/5,5
Xn+1-xn= (2+0,2x0,45^n-1+n+1)/5,5 - (2+0,2x0,45^n-1)/5,5
=2+0,2x0,45^n/5,5 -2+0,2x0,45 / 5,5
Je bloque ...

@shana67

L'écriture de $X_n$ est fausse.
$Xn=0,2×0,45n−15,5+25,5X_n = \dfrac{0,2 \times 0,45^{n-1}}{5,5} + \dfrac{2}{5,5}$
que l'on peut écrire :
$Xn=2×0,45n−155+411X_n = \dfrac{2 \times 0,45^{n-1}}{55} + \dfrac{4}{11}$

$Xn+1−Xn=2×0,45n55+411−2×0,45n−155−411X_{n+1} - X_n = \dfrac{2 \times 0,45^n}{55} + \dfrac{4}{11}- \dfrac{2 \times 0,45^{n-1}}{55} - \dfrac{4}{11}$

$Xn+1−Xn=2×0,45n55−2×0,45n−155X_{n+1} - X_n = \dfrac{2 \times 0,45^n}{55} - \dfrac{2 \times 0,45^{n-1}}{55}$
Si tu factorises :
$Xn+1−Xn=2×0,45n−155(0,45−1)X_{n+1} - X_n = \dfrac{2 \times 0,45^{n-1}}{55} (0,45 - 1)$
je te laisse simplifier et déduire le signe donc les variations de la suite.

Ce message a été supprimé !

@shana67
Et puis les calculs sont coupés ils n’apparaissent pas entierement ..

J'ai choisi d'écrire sans nombre décimal au dénominateur
$0,25,5=255\dfrac {0,2}{5,5} = \dfrac{2}{55}$ .

Tu peux faire le calcul sans modifier l'écriture de $X_n$

Que veux tu dire par "calculs coupés" ?

@Noemi
Je voulais dire que tous vos calculs n’apparaissaient pas a l´ecran mais je les ai reprit et je tombe bien sur la meme reponses que vous

@shana67
Par contre je ne vois vraiment pas comment simplifier..

@shana67

La simplification est juste le calcul entre parenthèses soit $0, 45 - 1 = . . . .$
Puis tu prend en compte le signe de l'expression..

@Noemi
(0,45-1)= -0,55
Ainsi (0,2x0,45^n-1)x(-0,55)/5,5< 0
Donc la suite (xn) est decroissante

La suite xn est decroissante et minoree par 0 donc selon le theoreme de convergence monotone la suite xn converge

Limite de 0,2 x0,45^n-1= 0
A partir de ca j´en deduis que la limite de la siite est 0 ?

@Noemi
Ah non me suis trompée il faut que je parte de l’expression de xn trouvé précédemment donc
Xn=2/5,5+0,2x0,45^n-1/5,5

Limite de 0,2x0,45^n-1/5,5 =0 car q=0,45 est compris entre -1 et 1
Donc par somme 2/5,5 +0= 2/5,5
Ainsi lim xn = 2/5,5

@shana67

C'est correct.

@Noemi
Enfin pour la derniere question
On sait que yn=1-xn on en desuit que yn=1-2/5,5-0,2x0,45^n-1/5,5
Yn=7/11-0,2x0,45^n-1 /5,5
Donc lim yn quand n tend vers +l’infini est 7/11 car -1<0,45<1 donc

@shana67

C'est correct.

@Noemi
Super ! Merci beaucou vraiment !!!

@shana67

L'essentiel c'est que tu aies tout compris.