Montrer que deux événements A barre et B barre sont indépendants


  • N

    Re : Montrer que deux événements A et B barre sont indépendants
    Bonjour,
    Je dois montrer que A(barre) et B(barre) sont indépendants
    J'ai fais le début de ma démonstration seulement à ce niveau là je n'arrive pas à factoriser pourriez vous m'aider s'il vous plaît?
    P(A barre inter B barre) = 1- P(A)- P(B)+ P(A)×P(B)


  • N
    Modérateurs

    Bonsoir Namjul ,

    L'énoncé n'indique pas à quoi correspond l'événement A et l'événement B ?


  • N

    @Noemi bonsoir non absolument pas on me dit juste que les deux événements A et B sont indépendants
    Et on me demande de justifier que par conséquent A barre et B barre le sont aussi


  • N
    Modérateurs

    @Namjul

    Si A et B deux événements indépendants . Alors : P(A∩B)=P(A)P(B)P(A\cap B) = P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)
    On démontre que les événements BBB et A‾\overline AA sont indépendants :
    P(A‾)=1−P(A)P(\overline A) = 1 - P(A)P(A)=1P(A)
    La formule des probabilités totales donne : P(B)=P(A∩B)+P(A‾∩B)P(B) = P(A\cap B) + P(\overline A \cap B)P(B)=P(AB)+P(AB)
    Soit P(A∩B)=P(B)−P(A‾∩B)P(A\cap B) = P(B) - P(\overline A \cap B)P(AB)=P(B)P(AB)
    P(A)P(B)=P(B)−P(A‾∩B)P(A)P(B) = P(B) - P(\overline A \cap B)P(A)P(B)=P(B)P(AB)
    P(A‾∩B)=P(B)(1−P(A)=P(B)P(A‾)P(\overline A \cap B) = P(B)(1 - P(A) = P(B)P(\overline A)P(AB)=P(B)(1P(A)=P(B)P(A)
    Conclusion :
    Les événements A‾\overline AA et BBB sont donc indépendants

    Si on réitère la démonstration précédente sachant que A‾\overline AA et BBB sont indépendants, on en déduit que A‾\overline AA et B‾\overline BB sont indépendants.


  • N

    @Noemi d'accord j'ai compris merci beaucoup!!


  • N
    Modérateurs

    @Namjul

    Autre démonstration :
    A partir de :
    P(A‾∩B‾)=1−P(A∪B)P(\overline A \cap \overline B) = 1 - P(A \cup B)P(AB)=1P(AB)
    P(A‾∩B‾)=1−(P(A)+P(B)−P(A∩B))P(\overline A \cap \overline B) = 1 - (P(A) + P(B) - P(A \cap B))P(AB)=1(P(A)+P(B)P(AB))
    Comme les événements A et B sont indépendants
    P(A‾∩B‾)=1−(P(A)+P(B)−P(A)P(B))P(\overline A \cap \overline B) = 1 - (P(A) + P(B) - P(A) P( B))P(AB)=1(P(A)+P(B)P(A)P(B))
    P(A‾∩B‾)=1−P(A)−(P(B)(1−P(A))P(\overline A \cap \overline B) = 1 - P(A) - ( P(B) (1 -P(A))P(AB)=1P(A)(P(B)(1P(A))
    P(A‾∩B‾)=(1−P(A))(1−P(B))P(\overline A \cap \overline B) = (1 - P(A)) (1 - P(B))P(AB)=(1P(A))(1P(B))
    Donc
    P(A‾∩B‾)=P(A‾)P(B‾)P(\overline A \cap \overline B) = P(\overline A) P(\overline B)P(AB)=P(A)P(B)

    Conclusion :
    .....


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