Montrer que deux événements A barre et B barre sont indépendants

[Namjul]

Re : Montrer que deux événements A et B barre sont indépendants
Bonjour,
Je dois montrer que A(barre) et B(barre) sont indépendants
J'ai fais le début de ma démonstration seulement à ce niveau là je n'arrive pas à factoriser pourriez vous m'aider s'il vous plaît?
P(A barre inter B barre) = 1- P(A)- P(B)+ P(A)×P(B)

[Noemi]

Bonsoir Namjul ,

L'énoncé n'indique pas à quoi correspond l'événement A et l'événement B ?

[Namjul]

@Noemi bonsoir non absolument pas on me dit juste que les deux événements A et B sont indépendants
Et on me demande de justifier que par conséquent A barre et B barre le sont aussi

[Noemi]

@Namjul

Si A et B deux événements indépendants . Alors : $P(A\cap B)=P(A)P(B)$
On démontre que les événements $B$ et $\overline{A}$ sont indépendants :
$P(\overline{A})=1-P(A)$
La formule des probabilités totales donne : $P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)$
Soit $P(A\cap B)=P(B)-P(\overline{A}\cap B)$
$P(A)P(B)=P(B)-P(\overline{A}\cap B)$
$P(\overline{A}\cap B)=P(B)(1-P(A)=P(B)P(\overline{A})$
Conclusion :
Les événements $\overline{A}$ et $B$ sont donc indépendants

Si on réitère la démonstration précédente sachant que $\overline{A}$ et $B$ sont indépendants, on en déduit que $\overline{A}$ et $\overline{B}$ sont indépendants.

[Namjul]

@Noemi d'accord j'ai compris merci beaucoup!!

[Noemi]

@Namjul

Autre démonstration :
A partir de :
$P(\overline{A}\cap \overline{B})=1-P(A\cup B)$
$P(\overline{A}\cap \overline{B})=1-(P(A)+P(B)-P(A\cap B))$
Comme les événements A et B sont indépendants
$P(\overline{A}\cap \overline{B})=1-(P(A)+P(B)-P(A)P(B))$
$P(\overline{A}\cap \overline{B})=1-P(A)-(P(B)(1-P(A))$
$P(\overline{A}\cap \overline{B})=(1-P(A))(1-P(B))$
Donc
$P(\overline{A}\cap \overline{B})=P(\overline{A})P(\overline{B})$

Conclusion :
.....

[arth.ur]

@Noemi Bonjour, comment on sait que:
P( A ∩ B )=1−P(A∪B) ?
merci

[mtschoon]

@arth-ur , bonsoir,

C'est très bizarre ce que tu dis, @arth-ur

$p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$

donc :

$p(A\cap B)=p(A)+p(B)-p(A\cup B)$