fonction avec suite et exponentielle

Bonjour,
je bloque sur une partie d'un ex de mon DM
on a (Un) la suite definie par Uo=5 et pour tout entier naturel n,
Un+1=3-e-²x ( exp-2x) je ne sais pas l'écrire autrement désolé
a) démontrer par récurrence que pour tout entier n : 0<=Un+1<=Un
b) En déduire que Un est convergente
c'est sur ce b) que je bloque, pour moi
soit il faut calculer la limite de Un mais on ne l'a pas
soit voir si elle est croiss ou décroiss
il me semble que Un est décroissante, puisque Un+1<=Un
il faut montrer ensuite qu'elle est minorée et là je sèche
Pouvez vous m'aider s'il vous plaît ?
Merci

Bonjour helpcbv,

L'énoncé est-il complet ?
L'écriture de $U_{n+1}$ est-elle bien : $U_{n+1}=3 - e^{-2x}$ ?
Pour $x≥0x\geq0$ , $e−2x≤1e^{-2x}\leq 1$ donc $U_{n+1}....$

@Noemi et @helpcbv bonjour,

@helpcbv
Tu devrais revoir l'expression de $U_{n+1}$

Donner l'expression de $U_{n+1}$ en fonction de x n'a guère de sens ....

Bonjour,
l'énoncé total est le suivant :
1- Soit f la fonction définie sur R par f(x)=3−e −2x comme vous l'avez écrit
Dresser un tableau de variation.
Tableau fait
2- Soit (Un) la suite définie par U0=5 et pour tout entier naturel n, Un+1= 3-e-2x comme vous l'avez écrit ( expo de -2x)
a) démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n : 0<=Un+1<=Un
b) en déduire que la suite (Un) est convergente
c) question avec prise d'initiative : Déterminer une valeur approchée de la limite de Un à 10 puissance -5 près

voilà l'exercice complet

Merci à vous.

@helpcbv ,

Il y a visiblement une faute dans l'énoncé que tu donnes

Pour qu'il ait un sens, il faudrait

$f(x)=3-e^{-2x}$

$U_{n+1}=3-e^{-2U_n}$

Ainsi,
$U_{n+1}=f(U_n)$

Merci de vérifier.

Remarque : si tu as vraiment démontré le a) c'est à dire que : Pour tout naturel n , $0≤Un+1≤Un0\le U_{n+1}\le U_n$ , tu n'as rien à faire pour le b) qui est une conséquence directe du a)

Comme tu l'indiques, la suite (U_n) est décroissante et minorée par 0 donc convergente.
Regarde ton cours "Toute suite décroissante et minorée est convergente"

Bien sûr, cela prouve la convergence.

Si l'énoncé te demandait, ensuite, la limite de la suite (lorsque n tend vers $+∞+\infty$ ) , ce serait une autre question.

@mtschoon bonjour,
merci pour ce retour,
c'est bien l'énoncé, je peux le mettre en image si c'est accordé,
pour le b) en déduire que Un est convergente, il faut que je prouve qu'elle est minorée je pense car on ne me le dit pas et à partir de là je pourrai conclure par le fait que si elle est décroissante et minorée alors elle est convergente,
comment prouver qu'elle est minorée ?

Merci.

@helpcbv a dit dans fonction avec suite et exponentielle :

@mtschoon bonjour,
merci pour ce retour,
c'est bien l'énoncé, je peux le mettre en image si c'est accordé,
pour le b) en déduire que Un est convergente, il faut que je prouve qu'elle est minorée je pense car on ne me le dit pas et à partir de là je pourrai conclure par le fait que si elle est décroissante et minorée alors elle est convergente,
comment prouver qu'elle est minorée ?

Merci.

En écrivant je crois comprendre que si O<=Un alors elle est au dessus de 0 donc minorée, est- ce cela ?

Merci

Tu peux poser la question à ton professeur, pour l'énoncé.

Oui, si tu as fait le a), tu as démontré que la suite est minorée par 0, car pour tout naturel n, $\fbox{0\le U_n}$
0 est un minorant de la suite.

Bon travail.