devoir sur les suites

Bonjour, j'ai un dm de maths à faire sur plusieurs chapitres dont un chapitre que j'ai assez mal compris, mais je bloque sur l'ensemble de l'exercice qui lui est dédié. Le voici : On considère la suite (Un) définie par $U_n= n^3-n+4$

Déterminer les trois premiers termes de la suite ( je trouve U0=4, U1=4 et U3=10) est-ce bon ?
exprimer, pour tout entier naturel n >= 0, Un+1 en fonction de n.
Montrer que pour tout entier n>=0, on a : Un+1-Un = 3n(n+1)
Etudier le sens de variation de la suite (Un) n appartient N.

Puis enfin des questions sur un algorithme mais je n'est pas bien travaillé dessus, je vais le reprendre seul et vous recontacte si j'ai un problème.
Merci d'avance

(Formule re-écrite en Latex par la modération)

@leo04 , bonsoir,

Ton écriture de $U_n$ n'est pas claire.
S'agit-il de $I_n=n^3-n+4$ ou autre chose ?

Merci de l'indiquer.

Bonjour, il est écrit dans l'énnoncé : Un = ne3-n+ 4

@leo04

Tu as pensé quoi pour ce "e" ?

Si c'est bien $U_n=n^3-n+4$ ,
tu dois trouver
$U_0=4$
$U_1=4$
$U_2=10$
Or tu parles de $U_3=10$ ...Tu t'es peut-être trompée dans l'indice car $U_3=28$

Cela semble bien être $\fbox{U_n=n^3-n+4}$,car ça correspond aux questions suivantes.

Pistes pour la suite,

Pour le 2), il te suffit de remplacer n par (n+1)
$U_{n+1}=(n+1)^3-(n+1)+4$

Pour la 3) tu calcules $U_{n+1}-U_n$ en remplaçant $U_n$ et $U_{n+1}$ par leurs expressions.

En développant et simplifiant, tu dois trouver , comme indiqué dans l'énoncé
$3n^2+3n$ , c'est à dire $3 n (n + 1)$

Reposte si tu n'arrives pas à faire le calcul.

Oui pardon, erreur de ma part pour la première question.
Merci beaucoup, je regarde ça dans 2 minutes et vous tiens au courant.

@leo04
D'accord.

Pour la question 2, je trouve Un+1 = ne3 + 3ne2b + 3n1e2 - n + 4
le e signifie exposant, je ne sais juste pas les faire sur ordinateur...
Est-ce bien cela ? Si oui je fais immédiatement le 3. Merci

@leo04

Vraiment, je ne comprends guère ce que tu écris...

Je t'indique ce que tu dois trouver en développant $U_{n+1}$

$U_{n+1}=n^3+3n^2+2n+4$

Sans mettre en codes latex, tu peux utiliser la "puissance" pour écrire:
U(n+1)=n^3+3n^2+2n+4
C'est déjà plus lisible...

Ok, je ferais comme cela dorénavant.
Cependant je ne trouve pas le même resultat... Pourriez-vous svp détailler le calcul ?

@leo04 ,

C'est peut-être $n+1)^3$ qui te pose problème
Tu peux penser que $n+1)^3=(n+1)(n+1)^2=(n+1)(n^2+2n+1)$

Tu dois trouver ainsi que
$n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1$

Ensuite, tu termines le calcul $U_{n+1}$

C'est bon j'ai trouvé mon erreur, merci beaucoup. J'ai également finis la question 3.

Comment faire dans la question 4 pour étudier le sens de variation de la suite ?

Bonjour leo04,

Recherche le signe de $U_{n+1} - U_n$

C'est positif donc la suite est strictement croissante. Est-ce bien cela ?

@leo04 ,

Utilise la question 3; elle a été demandée pour ça,

$U_{n+1}-U_{n}=3n(n+1)$

$n≥0n\ge 0$ donc $\ge 0$ donc .....................

(Tu termines)

@leo04 (nos réponses se sont croisées...)

Oui, globalement, c'est ce que tu as indiqué mais dit plutôt que la suite est croissante ( non strictement croissante) car $Un+1−Un≥0U_{n+1}-U_n \ge 0$ .
Il aurait fallu $Un+1−Un>0U_{n+1}-U_n \gt 0$ pour conclure que la suite est strictement croissante.

D'ailleurs, si tu regardes les premières valeurs calculées, tu t'en aperçois vu que $U_0=U_1$

La suite est strictement croissante seulement pour $n>0n\gt 0$ , c'est à dire $n≥1n\ge 1$

Super merci, il y a maintenant des questions sur un algorithme... Je vais tenter de l'écrire:

L'algorithme ci-dessous contient une fonction seuil qui doit permettre de déterminer un rang p à partir duquel tous les termes de la suites sont supérieurs à un nombre réel A.

def u (n) :
return (n**3-n+4)

def seuil (A)
n=0
while u(n)<A :
n=n+1
return (n)

a. Quel est le rôle de la fonction u placée avant la fonction seuil ?
b. Programmer cet algorithme et exécuter la fonction seuil en prenant A = 100, A = 100000 et A = 10^20
c. Conjecturer la limite éventuelle de la suite (Un) nappartient entier naturel.
L'algorithme et les questions me sont donnés exactement comme ça.

@leo04 ,

Regarde l'algorithme.

a) La fonction U, calcule , pour n donné, l'expression $U_n=n^3-n+4$ qui la suite étudiée dans les premières questions de ton exercice.

Je dois dire que ça pour la a ?
Si oui c'est bien ce que j'avais noté mais je pensais qu'il y avait autre chose.

Pour la a), je ne vois rien d'autre à dire...

ok, et pour la b) je dois reproduire l'algorithme sur une calculatrice et changer le A en fonction de ce qu'il m'est donné ?

@leo04 ,

Oui, tu programmes avec l'outil que tu possèdes (ou que tu utilises en cours, peut-être Python ? ) et tu donnes à A les valeurs indiquées.

Oui je vais utiliser Python, quelle valeur suis-je sensé trouver ? (si vous avez le temps de le faire)

@leo04 ,
J'ai juste regardé ma calculette, je n'ai pas tapé le programme.

ok merci, et pour la dernière question je conjecture que c'est +infini.... est-ce bien cela ?

@leo04 ;

Oui.
La suite tend vers + $∞\infty$ lorsque n tend vers + $∞\infty$
C'est une suite divergente.

super merci et dernière chose pour le petit b évoqué précédemment, je trouve A=100, on obtient 999904. Je note uniquement cela ou la réponse est autre chose ?

@leo04 ,

Indique l'outil que tu as utilisé pour programmer et le résultat ainsi obtenu pour chacun des 3 valeurs de A.
Cela devrait suffire il me semble.

Je ne dois pas dire pour quel "u" le resultat est atteint ? C'est un ami qui m'a dit ça mais je comprends pas bien ce qu'il veut dire.

@leo04
C'est à ton ami qu'il faut demander ce qu'il veut dire...on ne peut pas répondre à sa place !

Le programme calcule $U_n$ pour les valeurs successives de n, tant que $Un<AU_n \lt A$ . Ainsi, à la valeur suivante de n, $Un≥AU_n \ge A$ .
Lorsque la boucle "tant que" s'arrête , le programme affiche la dernière valeur de n trouvée, que l'énoncé appelle p.

Ce que fait le programme est écrit dans l'énoncé 'L'algorithme......"

mais je n'obtiens pas cette valeur de n puisque j'ai 999904>A

@leo04 ,
Tu n'as peut-être pas écrit le programme.

Effectivement, il ne faut pas confondre n et $U_n$

A la calculette, sauf erreur et/ou manque de précision de ma calculette,
pour $n≥5n\ge 5$ , $Un>100U_n \gt 100$
pour $\ge 47$ , $Un>100000U_n \gt 100000$

donc les réponses sont 5, 47...

@leo04 ,

Oui, mais tape le programme pour t'en assurer.

OK, merci beaucoup

De rien @leo04 et bonne semaine!