Aide dm fonction exponentielle

Bonsoir tout le monde , j’ai un dm sur les fonctions a rendre pour demain, je l’ai commencé mais certaine questions me posent probleme
PARTIE A
Soit g la fonction definie sur R par g(x) = exp(x)+x+1

determiner les limites en +l’infini et
-l’infini
•J’ai trouvé lim x->+l’infini =+ lninfini et en -l’infini la limite c -l’infini
etudier les variations de la fonction g
• ma dérivée g’(x)= exp(x)+1 j’ai donc dis que la fonction etait croissante sur R
demontrer que l´equation g(x)=0 amet une solution alpha dans R
• sur l’intervalle ]-l’infini;+ l’infini[ g est continue et strictement monotone et a valeurs sur R qui contient 0 donc d’apres le corollaire des valeurs intermédiaires...
determiner le signe de g(x) suivant les valeurs de x
• g(x) est decroissante sur ]-l’infini, alpha[ puis croissante ]alpha;+ l’infini[

PARTIE B:
soit f la fonction definie et derivable sur R par f(x)= xe^x/(e^x+1)

determiner la limite en -l’infinu en donnant une interpretation graphique
• lim en -l’infini=0 donc asymptote a la droite horizontale
justifier que pour tout reel x, f(x) = x/( e^-x +1)
• f(x)= xe^x/(e^x(1+ 1/e^x)) = x/(1+ e^-x)
Et sa limite est +l’infini en + l’infini
justifier que f’(x). Est du meme signe que g(x)
• f ‘(x) = (e^-x+1+xe^-x)/(e^-x+1)^2
Ensuite je bloque
dresser le tableau de variation complet de f
demontrer que f(alpha)= alpha+ 1. En deduire un encadrement de f(alpha)
determiner une equation de la tangeante T a Cf au point d´abscisse 0
on note delta la droite d’equation y=x
Determiner la position relative de Cf par rapport a delta.
Voila dsl c’est assez long
Merci d´avance pour votre aidee.

Bonsoir shana67,

Partie A
Question 4 : Il est demandé le signe de g(x) et non les variations.
De plus la fonction est strictement croissante.

Partie B
Question 1 : il faut préciser l'équation de l'asymptote y = 0.
Question 3 : mets $e^{-x}$ en facteur dans la dérivée.

Propose tes réponses pour les autres questions.

@Noemi
Pour la question 4 j’ai tenu compte d’alpha car nous avons vu en cours que lorsque g(x)=0 et qur la solution est alpha alors en dessous d’alpha le signe etait negatif et au dela le signe etait positif
C’est faux ? Si oui pourquoi?
Pour la question 3 partie B j’ai factorisé par e^-x et j’obtiens f’(x)= e^-x( 1+(1/e^-x)+(x/e^-x))/(e^-x+1)^2
Sauf que je ne retombe pas sur g(x)

@shana67

Pour la question 4, il faut répondre que
g(x) est négatif sur l'intervalle $]−∞;α[]-\infty ; \alpha[$ et g(x) est positif sur l'intervalle $]α;+∞[]\alpha ; +\infty[$ .

Partie B
La dérivée : $\dfrac{xe^{-x}+ e^{-x}+1}{(e^{-x}+1)^2}= \dfrac{e^{-x}(x+ 1+\dfrac{1}{e^{-x}})}{(e^{-x}+1)^2} = \dfrac{e^{-x}(x+ 1+e^x)}{(e^{-x}+1)^2}$

@Noemi
Pour la question 4) c’est bien ce que j’avais merci
Pour la dérivée j’ai trouvé la meme chose cependant lors de la factorisation je comprend pas vraiment

@Noemi
Je ne comprend pas pourquoi vous ne mettez pas le denominateur lorsque vous factorisez par e^-x vous écrivez directement e^-x(1+x+ex)
Sauf que pour que la factorisation soit correcte nous avons appris à factoriser par e^-x en divisant ensuite la parathese par e^-x pour que l’on retombe sur le developpement

$xe−x+e−x+1=e−x(x+1+1e−x)xe^{-x}+e^{-x}+1 = e^{-x}(x +1+\dfrac{1}{e^{-x}})$

et $1e−x=ex\dfrac{1}{e^{-x}}= e^x$

@Noemi
Et je conclue que e^-x(g(x)) ?

@Noemi
Au depart j’avais fait cela sur mon brouillon sauf que je ne sais pas ce qu’on fait ensuite du e^-x qui est en facteur car ducoup il change le signe de f’(x)

@shana67

pour la dérivée,
le dénominateur est un carré supérieur ou égal à 1 et $e−x>0e^{-x} \gt 0$ donc le signe de la dérivée est du même signe que g(x).

Pour la question 5, Ecris $f(α)f(\alpha)$ et utilise le fait que $g(α)=0g(\alpha)=0$ .

@Noemi
Comment je sais que e^-x > 0 ?
Donc sur ma copie j’ecris que f’(x)= e^-xg(x) ? (Sans oublie le denom BIensur)

@Noemi
Pour la question 5) j’avais commence à faire cela :
G(alpha)= e^alpha+ alpha+1
F(alpha) = alpha/(e^-alpha+1)
Sauf que la je bloque ..
Je pensais faire alpha= -e^alpa-1 et le remplacerr par alpha dans F sauf que je ne vois ensuite aucune solution possible

@shana67

Pour la dérivée :
$\dfrac{e^{-x}(x+ 1+e^x)}{(e^{-x}+1)^2} = \dfrac{e^{-x}g(x)}{(e^{-x}+1)^2}$

Question 5
$f(α)=αeαeα+1f(\alpha)=\dfrac{\alpha e^{\alpha}}{e^{\alpha}+1}$
or $g(α)=eα+α+1=0g(\alpha)= e^{\alpha}+\alpha+1 = 0$
soit $eα=−α−1e^{\alpha}=-\alpha-1$ que tu remplaces dans $f(α)f(\alpha)$ pour trouver l'expression demandée.

@Noemi
Dans l’expression de f’(x) le carré au denominateur disparait ?! Car vous ne l’avez pas mis

@Noemi
Dans la question 4) on me demandait le tableau de variations complet j’ai donc ecrit que sur] -l’infini;alpha[ f est decroissante avec une limite en -l’infini qui est -l’infini puis ensuite elle est croissante sur ]alpha;+l’infini[ avec + l’infini comme limite en + l’infini

@Noemi
Pour la question 6 j’ai trouvé que l´equation de la tangeante est yT= 0,5x
Est-ce juste?

@shana67

Pour le tableau de variation, il faut noter la valeur du minimum pou $α\alpha$ , soit $f(α)f(\alpha)$ .

L'équation de la tangente en 0 est juste.

@Noemi
Est ce cohérent que je trouve une limite de -l’infini en -l’infini et que cela est decroissant vers f(alpha)?

@shana67

La limite en $−∞-\infty$ est 0-. Tu as indiqué une asymptote horizontale $y = 0$ .

@Noemi
Oui effectivement c’est une erreur dsl

@Noemi
Pour la position relative j’utilise f(x)- 0,5x ?

@shana67

L'énoncé indique la droite d'équation $y = x$ donc tu étudies le signe de $f (x) - x$ .

Soit $\dfrac{xe^x}{e^x+1} - x$

Réduis l'expression au même dénominateur puis tu la simplifies et tu étudies son signe selon les valeurs de $x$ .

@Noemi
Daccord merci je fais ça et je vous envoie ma reponse

@Noemi
Le resultat de f(x)-x = -x/(e^x+1) ?

@Noemi
Sur ]-l’infini;0[ Cf est au dessus de la droite et sur ]0;+l’infini[ Cf est en dessous de la droite

@shana67

C'est juste.

@Noemi
Daccord merci beaucoup !