Fonction logarithme avec paramètre et graphique

Bonjour!
Petit soucis avec un exercice concernant les fonctions ln!
Voici l'énoncé:

Pour tout entier naturel n non nul, on considère la fonction fn définie sur ]0;+inf[ par fn(x)= ln(x)+ x/n - 1
a) déterminer les limites de fn en 0 et + inf
b) etudier les variations de fn sur ]0;+inf[ et dresser son tableau de variation
c) montrer que l'équ° fn(x)=0 admet une unique solution alpha(n) dans ]0;+inf[
d) montrer que alpha(n) E à [1;e]
Le sujet nous donne un repère orthonormé (O; i; j) la courbe répresentative T de la fonction ln
a) soit n un entier naturel non nul, déterminer une éq° de la droite Delta n passant par le point A de coordonnées (0;1) et le point Bn de coordonnées (n;0)
b) montrer que alpha n est l'abscisse du point d'intersection de T et de Delta n
c) tracer les droites Delta 1, Delta 2 et Delta 3, puis placer les réels alpha 1, alpha 2 et alpha 3 sur l'axe des abscisses. Conjecturer le sens de variation de la suite (alpha n)
3)a) Exprimer ln(alpha n) le plus simplement possible en fonction de n et de alpha n
b) montrer que fn+1(alpha n) <0 et en déduire le sens de variation de la suite (alpha n)
c) montrer que la suite (alpha n) est convergente, on note L sa limite
d) montrer que ln(L)=1 et en déduire la limite de la suite (alpha n)

J'ai fait les questions 1 cependant j'aurais besoin d'aide à partir de la question n°2..
Pour la 2)a) j'ai commencée à faire xb-xa/yb-ya= (n-0)/0-1= n/ -1
Que faut-il faire par la suite?

Merci!

Bonjour Constance,

Question 2. a) Si tu utilises l'équation réduite d'une droite qui est de la forme $y = a x + b$ .
$a$ le coefficient directeur se calcule pour la droite (AB) par : $\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ .
Pour le calcul de l'ordonnée à l'origine $b$ tu utilises les coordonnées d'un point.
par exemple avec le point A : $b = y_A - ax_A$ .

@Noemi pourquoi utiliser Ya dans A: b= ya - axa?

@Constance , re-bonjour,

Pour la 2)a), le coefficient directeur de la droite $(Δn)(\Delta_n)$ est , $a=yB−yAxB−xA=−1na=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=-\dfrac{1}{n}$

L'équation de $(Δn)(\Delta_n)$ peut se mettre sous la forme $y=ax+b=−1nx+by=ax+b=-\dfrac{1}{n}x+b$

Pour trouver b tu utilises et coordonnées de A ou de B.

Le plus simple est d'utiliser A(0,1) , ce qui fait : $1=−1n(0)+b1=-\dfrac{1}{n}(0)+b$

Tu déduis b et tu trouves que ( $Δn)\Delta_n)$ a pour équation
$y=−1nx+1\boxed{y=-\dfrac{1}{n}x+1}$

@Noemi , bonjour,

Je n'avais pas vu ta réponse.

@mtschoon Je n'avais pas pensée à ça merci
Pour la question 2.b) faut-il utiliser l'éq° de la droite Delta n?

@Constance ,

Oui, pour la 2)b), tu utilises l'équation $lnx=−1nx+1lnx=-\dfrac {1}{n}x+1$

@mtschoon Pourquoi faut-il utiliser l'équation ln(x) puisqu'on cherche une abscisse auquel T et Delta n se coupe
L'abscisse de Delta n serait -1/n ? Mais il faudrait le prouvait pour T?

@Constance

(T) a pour équation $y = l n x$
$(Δn)(\Delta_n)$ a pour équation $y=−1nx+1y=-\dfrac{1}{n}x+1$

Tout point d'intersection de (T) avec $(Δn)(\Delta_n)$ a une abscisse $x$ solution de $lnx=−1nx+1lnx=-\dfrac{1}{n}x+1$

En transposant, tu obtiens
$lnx+1nx−1=0lnx+\dfrac{1}{n}x-1=0$ <=> $f_n(x)=0$
Tu tires la conclusion relative à $αn\alpha_n$ , vu que tu sais que sur $]0,+∞[]0,+\infty[$ , $αn\alpha_n$ est l'unique solution de $f_n(x)=0$

Pour la 2)c), lorsque tu auras tracé les droites demandées, tu dois pouvoir conjecturer, en observant $α1,α2,α3\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3$ , que la suite $(αn)(\alpha_n)$ est croissante.

@mtschoon Pour Delta 1, je prends x=1? même chose pour delta 2 et 3? Pour placer les alpha j'utilise l'équation ln(x)+1/n x - 1?

J'ai finalement un problème avec la question 1)c)
Dans la question précédente j'ai trouvée que fn(x) est strictement croissante aux bornes de ]-inf; +inf[

@Constance ,
Pour la question 2)c), il ne faut pas confondre x et n.

Pour tracer les trois droites $(Δ1),(Δ2,(Δ3)(\Delta_1), (\Delta_2,(\Delta_3)$ , c'est n qu'il faut remplacer successivement par 1, 2 , 3

$α1\alpha_1$ est l'abscisse du point d'intersection de $(Δ1)(\Delta_1)$ avec l'axe des abscisses
$α2\alpha_2$ est l'abscisse du point d'intersection de $(Δ2)(\Delta_2)$ avec l'axe des abscisses
$α3\alpha_3$ est l'abscisse du point d'intersection de $(Δ3)(\Delta_3)$ avec l'axe des abscisses

@Constance

Pour la question 1)c),
Tu as dû prouver que la fonction $f_n$ est strictement croissante de $]0,+∞[]0,+\infty[$ vers $]−∞,+∞[]-\infty,+\infty[$
Tu appliques le théorème des valeurs intermédiaires (cas de la bijection) pour prouver que l'équation $f_n(x)=0$ admet une solution unique $αn\alpha_n$ dans $]0+∞[]0+\infty[$

@mtschoon Au secours! Niveau collège!
J'ai remplacée et j'ai trouvée:
Δ1: y= -1/1x +1= -x + 1
Δ2: y= -1/2x + 1
Δ3: y= -1/3x + 1
Normalement pour les placer je dois prendre une valeur et remplacer dans x
Et alpha est solution de ln(x) = -1/nx + 1
Mais comment le placer?

@Constance ,

Lorsque tu as tracé les droites, tu n'as plus rien à faire.
Tu indiques $α1\alpha_1$ , $α2\alpha_2$ , $α3\alpha_3$ sur le schéma.

Comme je te l'ai déjà dit :
$α1\alpha_1$ est l'abscisse du point d'intersection de $(Δ1)(\Delta_1)$ avec l'axe des abscisses
$α2\alpha_2$ est l'abscisse du point d'intersection de $(Δ2)(\Delta_2)$ avec l'axe des abscisses
$α3\alpha_3$ est l'abscisse du point d'intersection de $(Δ3)(\Delta_3)$ avec l'axe des abscisses

@mtschoon OK! J'ai bien trouvée que la suite était croissante!

Pour la question 3)a. faut-il isoler ln(x) à partir de l'équation lnx + 1/n*x - 1 =0 qui correspond à fn(x)?
Si c'est ce raisonnement, trouve t-on: ln (alpha n) = alpha n/n - 1 - fn(x)?

Pour la 3)b. faut-il calculer fn+1(x)?

@Constance ,

Ton idée est bonne , mais la seconde ligne que tu as écrit est bizarre.
Remplace $x$ par $αn\alpha_n$ dans l'équation que tu donnes en première ligne.

$ln(αn)+1nαn−1=0ln(\alpha_n)+\dfrac{1}{n}\alpha_n-1=0$
Donc:
$ln(αn)=−1nαn+1\boxed{ln(\alpha_n)=-\dfrac{1}{n}\alpha_n+1}$

C'est tout ce qu'il y a à faire pour cette question.

Bien sûr, cela servira pour la question suivante.

@mtschoon Donc pour la 3)b.
On remplace?
fn+1(αn)= ln(α n) + αn/ n+1 -1
Mais comment prouver que la suite est <0?

@Constance ,

Ce que tu as écrit est bon.

Pour pouvoir simplifier cette expression de $fn+1(αn)f_{n+1}(\alpha_n)$ (et trouver son signe) , remplace $ln(αn)ln(\alpha_n)$ par ce que tu as trouvé au 3)a) (qui était faite pour ça)

@Constance ,

Sauf erreur, tu dois trouver :
$fn+1(αn)=αn(−1n(n+1))f_{n+1}(\alpha_n)=\alpha_n\biggl(\dfrac{-1}{n(n+1)}\biggl)$

Tu dois trouver facilement le signe de cette expression.

@mtschoon
( -1 / n(n+1)) <0 et αn supérieur à 0
Donc la suite est décroissante?

@Constance ,

Tu viens seulement de démontrer que $fn+1(αn)<0f_{n+1}(\alpha n) \lt 0$

Tu ne peux pas tirer ainsi de conclusion sur le sens de variation de la suite .

Il faut faire un raisonnement logique.

Tu sais que $fn(αn)=0f_n(\alpha_n)=0$ pour tout n de N*
donc :
$fn+1(αn+1)=0f_{n+1}(\alpha_{n+1})=0$

Or $fn+1(αn)<0f_{n+1}(\alpha n) \lt 0$

Donc : $fn+1(αn)<fn+1(αn+1)f_{n+1}(\alpha n) \lt f_{n+1}(\alpha_{n+1})$

Vu que la fonction $f_{n+1}$ est strictement croissante , tu peux déduire que :
$αn<αn+1\alpha_n \lt \alpha_{n+1}$

Tu peux conclure sur le sens de variation de la suite (qui doit correspondre à ce que tu as conjecturé avec le graphique de la question 2)c)

@mtschoon Merci!

@Constance , de rien !
J'espère que tu as terminé ton exercice et que tu as trouvé que la limite de la suite $(αn)(\alpha_n)$ est L=e

@mtschoon Justement je suis sur cette question
Pour démontrer qu'une suite est convergente on doit trouver sa limite, ou un peu utiliser le théorème qui dit que si elle majorée (ou minorée) elle admet une limite l.
Mais pour cela, il faut prendre fn(alpha n)?

@Constance ,

IL faut d'abord prouver que la suite est convergente et ensuite il faut trouver la valeur de la limite L.

Par théorème, toute suite croissante et majorée est convergente.
Tu sais que la suite est croissante.
Il te suffit de justifier qu'elle est majorée.
Pour cela, tu n'as aucun calcul à faire ; regarde la question 1)d) .

@Constance ,
Lorsque tu auras justifié que la suite est convergente, pour trouver la valeur de la limite L, il te suffit d'utiliser l'égalité valable pour tout n de N* :
$ln(αn)=−αnn+1ln(\alpha_n)=-\dfrac{\alpha_n}{n}+1$

En faisant tendre n vers $+∞+\infty$ , tu obtiendras la valeur de ln(L) et tu en déduiras la valeur de L.

@mtschoon ça concerne la question 3. b et c?

@Constance ,

Si tu parles de $ln(αn)=−αnn+1ln(\alpha_n)=-\dfrac{\alpha_n}{n}+1$ , c'est la réponse trouvée à la question 3)a) qui avait été notée
$ln(αn)=−1nαn+1ln(\alpha_n)=-\dfrac{1}{n}\alpha_n+1$ (ce qui veut dire pareil)

@mtschoon Ok
Mais j'ai pas compris pour la dernière question..
A la question précédente on trouve que L=e et à la dernière que lnL=1
On en déduit que la suite (αn)=1?

@Constance ,

Je ne vois pas comment tu as trouvé L=e à la question précédente. Ce n'est pas possible.
Tu confonds.

Utilise l'égalité indiquée dans mon précédent message (avec la forme que tu préfères)

Soit L la limite de la suite $(αn)(\alpha_n)$ , c'est à dire : $lim⁡n→+∞αn=L\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\alpha_n=L$

DONC

$lim⁡n→+∞ln(αn)=ln(L)\displaystyle \lim_{n\to +\infty} ln(\alpha_n)=ln(L)$

$lim⁡n→+∞(−αnn)=0\displaystyle \lim_{n\to +\infty}( -\dfrac{\alpha_n}{n})=0$

d'où $l n (L) = 0 + 1$ d'où $ln(L)=1\boxed{ln(L)=1}$

d'où $L=e\boxed{L=e}$

Conclusion:

La suite $(αn)(\alpha_n)$ converge vers e

@mtschoon Ok merci
Mais on se répète dans la question d'après, non?

@Constance ,
J'espère que tu maîtrises maintenant tout l'exercice.

Il n'y a pas de répétition dans les deux dernières questions.
Il y a un ordre logique.

Dans la question 3)c), on prouve l'existence de L (limite de la suite) ; on ne la calcule pas.
Lorsque l'existence de L est prouvée, dans la question 3)d), on trouve la valeur numérique de L (limite de la suite) ; on la calcule.

Bon travail.