Suite et trigonométrie, demande correction

[Sasouno]

Je voudrai qu'on me donne la correction des calcul ci-dessous :

Étudier les variations de n définie sur N dans chacun des cas suivant :

1. un=n^2-n+1
   2)un=n/2n+1 pour n non nul
   3)un=(-2)^n

Déterminer le Point image de chacun de des réel suivants :
a=11pi/ b=40pi/7 c=-140pi/6

1)Cbn de solution de l'équation cos(x)=-1 sont dans l'intervalle [-80;80]?

2)Toute suite croissante et positive diverge vers + infini. Vrai ou faux?

3)Si u est une suite géométrique de raison strictement positive et strictement inférieure alors u est strictement décroissante. Vrai ou faux?

Mes calculs=

1. un+1-un=(n+1)^2-(n+1)+1-(n^2-n+1)
   =n^2+2n+1-n-1+1-n^2+n-1
   =2n > 0 donc croissante

2. un+1/un= n+1/2(n+1)+1 / n/2n+1
   =n+1/2n+2 / n/2n
   =n+1/4n / n/2n
   =n+1/4n x 2nx4n/ nx4n
   = 1n/4n x 8n/4n
   = 8n/4n > 1 donc croissante

3. un+1-un= (-2)^n+1 - (-2)^n
   = (-2)^n+1 + 2^n
   = (-2)^n x (-2) + 2^n
   =(-2^nx(-2))+2^n
   =-2^n[-2-1]
   = -2^n x 1
   =-2^n < 0 donc décroissante

a=11pi/2 - pi/2 = 10pi/2 + pi/2
= 5pi
Point Image A(pi/2)

b=40pi/7 - 5pi/6= 35pi/7 + 5pi/6
= 5pi
Point Image B(5pi/6)

c=-140pi/6 - 4pi/6= -144pi/6 + 4pi/6
=-24pi + 2pi/3
Point Image (-2pi/3)

1. cos(x)= -1
   cos(x)=cos(2pi)
   x= 2pi

2. Pour qu'une suite diverge vers + infini il faut obligatoirement qu'elle soit positif (donc croissante).

3)Pour que u est strictement décroissante il faut que 0< q < 1 ssi u0 > 0.
Si u0<0 alors se sera l'inverse, donc faux.

Merci

[Noemi]

Bonjour Sasouno, (Marque de politesse à ne pas oublier !!)
Partie 1
Pour le sens de variation des suites
Pour la deuxième calcule $u_{n+1}-u_n$
Pour la troisième une erreur de signe -2 - 1 = -3.

Partie 2. Je suppose que l'on demande la position sur le cercle trigonométrique.
$\frac{11\pi }{2}=\frac{12\pi }{2}-\frac{1\pi }{2}=6\pi -\frac{\pi }{2}$ donc $-\frac{\pi }{2}$.

$\frac{40\pi }{7}=\frac{42\pi }{7}-\frac{2\pi }{7}=.....$

Partie 3. $cos(x)=-1$ ; $cos(x)=cos(\pi )$ ; $x=\pi +2k\pi$
A quoi correspond l'intervalle [-80 ; 80] ? des degrés, des radians ou Il manque \pi ?

Pour les parties suivantes dans le cas ou la proposition est fausse, il faut indiquer un contre exemple.

[Sasouno]

@Noemi
Bonjour, merci,

Pour le sens de variation de la 2ème et 3ème suite :
2)Un+1-Un= n/2n+1
=n+1/2(n+1)- n/2n+1
=n+1x(2n+1)/2n+3x(2n+1) - nx(2n+3)/2n+1x(2n+3)
=1/6n-3/2n
= 1/6n-3x3/2nx3
=1/6n-9/6n
=1+9/6n
=10/6n

=-2^n[-2-1]
=-2^nx-3
=6^n > 0 donc croissant

Ensuite pour 40pi/7=42pi/7 - 2pi/7
=6pi
-pi<-2pi/7<pi donc Point Image(-2pi/7)

Pour la partie 3, je pense que l'intervalle correspond à des degrés.
Et le reste, je vois pas comment indiquer un contre exemple, c'est la première fois que je fais ce type d'exercice

[Noemi]

@Sasouno

Partie 1 :
Cas 2) $u_{n+1}-u_n=\frac{n+1}{2n+3}-\frac{n}{2n+1}$

= $\frac{(n+1)(2n+1)-n(2n+3)}{(2n+3)(2n+1)}$ = $\frac{1}{(2n+3)(2n+1)}$

Détermine le signe et déduis le sens de variation

Cas 3) $u_{n+1}-u_n=(-2{)}^{n+1}-(-2{)}^n=(-2{)}^n(-3)$
C'est une suite alternée.

Pour la partie 3, si l'angle est en degré, $x=180°+360k$ donc l'équation n'a pas de solution dans l'intervalle donné.

Pour la partie 4, la suite $u_n$ définie par $u_n=1-\frac{1}{n}$ est une suite croissante et positive qui converge vers 1.

Pour la partie 5, Il manque un élément dans l'énoncé "strictement inférieure à ....."

[Sasouno]

@Noemi
D'accord merci beaucoup, maintenant j'ai compris, cependant pour le 3), vous dites que c'est une suite alternée mais je n'ai jamais étudié ce type de suite en classe donc ma prof nous donnera jamais un exercice avec un sujet qu'on a pas étudié en cours

[Noemi]

@Sasouno

Pour la suite, tu indiques que :
$U_0=1$
$U_1=-2$
$U_2=4$
$U_3=-8$
Donc suite de termes alternativement positif puis négatif.
La suite des termes pairs est croissante, celle des termes impairs est décroissante.