Géométrie dans l'espace (points coplanaires)

[MOUNA8]

Bonjour, je dois déterminer le z pour que le point A, B, C et D soient coplanaires. Or je fais une faute que je n'arrive pas à trouver.

Sachant que A( -3 ;2 ;-4), B( 11; -5; 19) C ( 1; 0; -1) et D( -9; 5; z).

J'ai posée le système suivant :
14 = -10a - 10 b
-7 = 5a + 5b
23 = -20 a+ ( z+1) b

Après ça je n'arrive plus à résoudre je trouve ça bizarre.

[Black-Jack]

Salut,

Une possibilité, parmi d'autres :

• Tu cherches l'équation du plan qui passe par les 3 points A, B et C.
  Pour ce faire, tu pars de l'équation d'un plan qui est : x + a.y + bz + c = 0
  et tu écris 3 relations en remplaçant x,y et z par les cordonnées de A, puis de B, puis de C.
  Tu pourras ainsi, en résolvant le système obtenu, trouver les valeurs des coefficients a, b et c.

Tu auras alors l'équation du plan ABC et il suffira de voir si les coordonnées du point D satisfont on non l'équation du plan ABC...

[Noemi]

Bonjour mimims ,

C'est la seule question de l'exercice ?

Une méthode : détermine l'équation du plan ABC puis détermine le $z$ qui permet au point D à appartenir à ce plan.

Dans un repère orthonormal, pour déterminer une équation cartésienne du plan $(ax+by+cz+d=0)$ passant par les trois points non-alignés A, B et C, une méthode consiste à :

• Déterminer un vecteur orthogonal aux vecteurs et obtenir ainsi un vecteur normal au plan (ABC) et les coefficients $a$, $b$ et $c$ de l'équation cherchée.

• Calculer le coefficient $d$ en utilisant l'appartenance de l'un des points au plan (ABC).

indique tes éléments de réponse si tu souhaites une correction.

[mtschoon]

Bonjour,

@mimims , comme je vois que tu n'as pas réagi aux indications qui t'ont été données, je me permets de regarder.

Tout d'abord, je regarde le système que tu donnes.
Tu ne dis pas comment tu en est arrivé là, mais une chose est sûre, il est indéterminé.
Les deux premières équations sont équivalentes entre elles.
(En divisant chaque membre de la première par -2, tu obtiens la seconde).

En bref, tu as seulement deux équations à 3 inconnues
$\{\begin{array}{l}-7=5a+5b\\ 23=-20a+(z+1)b\end{array}$
Ce système est indéterminé.
Tu peux par exemple, avec la première équation, calculer b en fonction de a
En substituant dans la seconde équation, tu pourras calculer z en a, c'est tout...

[mtschoon]

@mimims ,

En prenant l'énoncé au départ,

Tu peux vérifier que les points A,B,C ne sont pas alignés.
Par exemple,
Tu calcules les coordonnées de $\overrightarrow{CA}$ et tu dois trouver (-4,2,-3)
Tu calcules les coordonnées de $\overrightarrow{CB}$ et tu dois trouver (10,-5,-20)
Tu prouves que ces vecteurs ne sont pas colinéaires donc que les points A,B,C ne sont pas alignés donc que A,B,C déterminent un plan unique que j'appelle (P)

Tu cherches une équation de (P).
Tu peux chercher un vecteur normal $N(a,b,c)$ de (P) en résolvant le système
$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{N}.\overrightarrow{CA}=0\\ \overrightarrow{N}.\overrightarrow{CB}=0\end{array}$
c'est à dire
$\{\begin{array}{l}-4a+2b-3c=0\\ 10a-5b+20c=0\end{array}$
c'est à dire
$\{\begin{array}{l}-2a+b-\frac{3}{2}c=0\\ 2a-b+4c=0\end{array}$
Tu trouves $c=0,b=2a$
D'où $\overrightarrow{N}(a,2a,0)$
Le plus simple est de prendre $a=1$ , d'où $\overrightarrow{N}(1,2,0)$
Une équation de (P) est donc $1x+2y+0z+d=0$
En utilisant les coordonnées d'un des 3 points, tu dois trouver $d=-1$
d'où équation de (P) : $\boxed{x+2y-1=0}$
Bien sûr, tu peux écrire : $\boxed{x+2y+0z-1=0}$
Vu que le coefficient de z est nul , (P) est parallèle à l'axe (Oz)

D est dans ce plan (P) car $-9+2(5)+0z-1=0$ , mais la valeur de z , côte de D, est indéterminée.
Tu peux donner à z, côte de D, toute valeur réelle.

En bref , le point D est situé, dans le plan (P), n'importe où sur la droite passant par le point (-9,5,0) et parallèle à l'axe (Oz)

C'est tout ce que l'on peut dire avec l'énoncé donné...