Géométrie dans l'espace(coordonnées paramétriques)

Bonsoir, s'il vous plaît, j'ai du mal à résoudre ce problème.

L'objectif de cet exercice est d'étudier les trajectoires de deux sous-marins en phase de plongée. On considère que ses sous-marins se déplacent en ligne droite, chacun à vitesse constante.
A chaque instant exprimé en min, le premier sous marin est repéré par le point S1(t) et le second sous marin par le point S2(t) dans un repère orthonormé ( O,i,j,k) dont l'unité est le mètre. Le plan défini par ( O,i,j) représente la surface de la mer. La cote z est nulle au niveau de la mer, négative sous l'eau.

On admet que, pour tout réel t supérieur ou égal à 0, S1(t) a pour coordonnées :

xt= 180-50t
yt=-180+140t
zt=-10-20t

donner les coordonnées du sous-marin au début de l'observation.
J'ai trouvé (180;-180;-10)
Le reste je n'arrive pas
Quelle est la vitesse du sous marin en m.min
on se place dans le plan vertical contenant la trajectoite du premier sous matin. Déterminer l'angle alpha que forme la trajectoire du sous marin avec le plan horizental
Au debut de l'observation, le second sous marin est situé au point S2(0) de coordonnées (-130;-70;-360) et atteint au bout d'une minute le point S2(1) de coordonnée (-90;-160;-130).
À quel instant tm exprimé en min les deux sous marins ateignent la même profondeur.

Bonsoir mimims,

Calcule la dérivée des coordonnées
xt' = ...
yt'= ...
zt'= ...

Et pour le 3 et 4 svp je pourrais être guidé

@mimims

Il manque t pour yt.

Pour la question 3. Utilise les coordonnées du vecteur vitesse.

Pour la question 4. Cherche les expressions de S2(t) puis résous z1(t) = z2(t).

@Noemi merci je vais essayer

@mimims

Rectifie l'expression de yt, c'est -180 + 14 t ou -180 + 140t ?

@Noemi je trouve pas le 3

@mimims

J'ai indiqué une piste pour les questions 3 et 4 dans mon précédent post.
Utilise zt' pour trouver l'angle.

@Noemi oui mais en fait je ne comprends pas le chemin c'est pour ça

@mimims

Je reprends,

Question 2. Pour la vitesse du sous marin,
Soit avec la dérivée, cela donne $=\sqrt{50^2+140^2+20^2} = 150$ m/min.
Soit tu calcules les coordonnées de S1(1) , puis la distance S1(0)S1(1), puis vu que le déplacement s'effectue à vitesse constante v(t) = S1(0)S1(1).

Question 3. Pour l'angle avec le plan vertical, trace un triangle rectangle et place les points S1(0) et S1(1) et un point A à la verticale de S1(1), Tu calcules les distances S1(0)S1(1) et S1(1)A puis tu exprimes le sinus de l'angle puis tu calcules l'angle.

Question 4. Cherche l'expression de S2(t) en utilisant les coordonnées de S2(0) et S2(1)
-90 = -130 + a, soit a = 40, donc xt = -130 + 40t.
même démarche pour yt et zt.

Puis tu cherches l'égalité entre les deux zt.

@Noemi j'ai réussi la question mais la 4 j'ai encore du mal, est-ce qu'il faut que je cherche la norme S1(0)S1(1) ? et sinon quelle est la norme de l'hypothénuse et le côté adjacent ?

@mimims

Pour la question 3, tu calcules les distances SI(0)S1(1) et SI(1)A avec la norme des vecteurs.

Pour la question 4, cherche l'expression de zt
pour t = 1 min
-130 = -360 + c, soit c = 230, donc
zt= -360+230t
Il te reste à résoudre -10-20tm = -360=230tm pour trouver tm

@Noemi Pour la question 3 A il a quoi comme coordonnées ?

@mimims
Les coordonnées :
S1(0) : (180;-180;-10)
S1(1) : (130;-40;-30)
A : (130;-40;-10) Le point A est dans le plan (S1(0),x,y) parallèle au plan (O,x,y).

@Noemi S'il vous plaît pouvez-vous m'expliquer comment l'avez-vous trouvé ?

@mimims

Le point A est à la verticale du point S1(1) mais doit être au même niveau que S1(0) soit z = -10
donc A(130;-40;-10)

@Noemi Super j'ai compris ! Merci beaucoup pour votre aide !

@mimims

Attention j'ai rectifié les coordonnées du point A.

@Noemi j'ai trouvé un angle de 11,7°, c'est correct ?

@mimims

Non,
Tu dois trouver un angle de 7,66°. Rectifie le calcul en modifiant la distance S1(1)A qui vaut 20.

le point A il a pour coordonées (130;-40;0) non ?

@mimims

Non, il faut qu'il soit à la même altitude que le point S1(0) soit z = -10;
Donc
A(130;-40;-10)
J'ai rectifié mes indications précédentes. mes excuses pour cette erreur.

@Noemi Ah oui c'était -10, c'est bon je trouve 7,66°

@mimims

As-tu compris les explications ?

@Noemi oui, j'ai très bien compris merci

@mimims

Parfait, Tu as terminé la question 4, le calcul de tm ?
Tu dois trouver 1,4 minutes.

Bonjour,

ATTENTION

Il y a un piège dans l'énoncé. Et pire une erreur.

L'énoncé précise : "On admet que, pour tout réel t supérieur ou égal à 1, S1(t) a pour coordonnées : ... "

Et donc, il n'est pas question d'utiliser ces équations pour t = 0 pour le sous-marin S1.

Or plus loin dans l'énoncé (question 4), on précise que le début de l'observation est pour t = 0

Il est donc impossible, par exemple, de répondre correctement à la question 1 ... puisque pour S1, les positions données ne sont valables qu'à partir de t = 1 min et donc pas au début de l'observation.

Bonjour Black-Jack ,

C'est une erreur d'énoncé : Il faut lire : On admet que, pour tout t supérieur ou égal à 0.

Je rectifie l'énoncé.